Soluzioni
  • Per determinare l'equazione dell'ellisse possiamo procedere nel modo seguente.

    Scriviamo la generica equazione nella forma

    \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

    il testo dell'esercizio ci dice che b=1, quindi

    \frac{x^2}{a^2}+y^2=1

    Ora sfruttiamo la condizione di tangenza tra retta ed ellisse: mettiamo a sistema l'equazione dell'ellisse e l'equazione della retta tangente 2x+3y-6=0, che conviene riscrivere nella forma esplicita

    y=-\frac{2}{3}x+2

    Quindi

    \begin{cases}\frac{x^2}{a^2}+y^2=1\\ y=-\frac{2}{3}x+2\end{cases}

    Da questo sistema ricaviamo un'equazione di secondo grado in x:

    \frac{x^2}{a^2}+\left(-\frac{2}{3}x+2\right)^2=1

    Espandiamo il quadrato di binomio e sommiamo i termini simili

    (4a^2+9)x^2-24 a^2 x+27a^2=0

    Determiniamo il discriminante associato e imponiamo la condizione di tangenza, ponendolo uguale a zero

    \Delta=(-24 a^2)^2-4\cdot 27 a^2(4a^2+9)=0\iff 144 a^4-972 a^2=0

    Effettuiamo un raccoglimento totale 

    36 a^2 (4 a^2-27)=0

    Perfetto, abbiamo ottenuto un prodotto che deve essere uguale a zero, facciamo intervenire quindi la legge di annullamento del prodotto:

    a^2=0\vee 4a^2-27=0

    La prima equazione conduce alla soluzione a=0 che non è accettabile perché nella definizione di ellisse, a deve essere maggiore di zero. Dedichiamoci alla seconda equazione

    4a^2-17=0\iff a^2=\frac{17}{4}\iff a=\pm \frac{\sqrt{17}}{2}

    ancora una volta la soluzione negativa va esclusa.

    a=\frac{\sqrt{17}}{2}.

    Risposta di Ifrit
 
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