Soluzioni
  • Come ben sappiamo tutte le funzioni goniometriche fondamentali sono funzioni periodiche, ciascuna con il proprio periodo:

    - seno e coseno: periodo 2\pi

    - tangente e cotangente: periodo \pi

    - secante e cosecante: periodo 2\pi

    Formula per il periodo di una funzione goniometrica con coefficiente nell'argomento

    Chiamiamo \omega un generico coefficiente reale. In generale quando hai una funzione trigonometrica del tipo:

    \\ \sin(\omega x)\ \ \ ;\ \ \ \cos(\omega x)\\ \\ \tan(\omega x)\ \ \ ;\ \ \ \cot(\omega x)\\ \\ \sec(\omega x)\ \ \ ;\ \ \ \csc(\omega x)

    il periodo della funzione è dato da:

    T=\frac{\mbox{periodo della funzione di base}}{|\omega|}

    dove |\omega| indica il valore assoluto di \omega.

    Per il seno e per il coseno

    T=\frac{2\pi}{\omega}

    Per la tangente e per la cotangente

    T=\frac{\pi}{\omega}

    Per la secante e per la cosecante

    T=\frac{2\pi}{\omega}

    Periodo della somma di funzioni goniometriche

    La seconda regola da applicare per risolvere l'esercizio è la seguente: in una somma di funzioni trigonometriche il periodo è dato dal minimo comune multiplo dei coefficienti interi dei singoli periodi moltiplicato per pi greco.

    Risoluzione dell'esercizio

    Vediamo di applicare le suddette regole nella risoluzione dell'esercizio.

    y=\sin\left(\frac{2}{5}x\right)+\sin\left(\frac{x}{2}\right)+2\tan\left(\frac{x}{2}\right)

    Il primo addendo della funzione ha periodo (attenzione alla regola per le frazioni di frazioni)

    T_1= \frac{2\pi}{\frac{2}{5}}= 5\pi

    Il secondo ha periodo:

    T_2= \frac{2\pi}{\frac{1}{2}}= 4\pi

    Il terzo addendo ha periodo:

    T_3= \frac{\pi}{\frac{1}{2}}= 2\pi

    Per calcolare il periodo della somma delle tre funzioni goniometriche di serve il minimo comune multiplo dei tre coefficienti dei singoli periodi: 5, 4, 2.

    \mbox{mcm}(5,4,2)=20 

    Quindi il periodo della funzione somma si ottiene moltiplicando il mcm per pi greco

    T= 20\pi

    Fine! Se vuoi correggere i risultati di altri esercizi che devi svolgere per casa ti rimando al tool per calcolare il periodo di una funzione online. ;)

    Risposta di Ifrit
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