Soluzioni
  • Con grafico del logaritmo ci si riferisce al grafico della funzione logaritmica y=loga(x), il cui andamento e le cui caratteristiche variano al variare della base a, che per definizione di logaritmo deve essere un numero maggiore di zero e diverso da 1 (a>0, a≠1).

    Grafico del logaritmo con base maggiore di 1

    Il grafico della funzione logaritmo con base maggiore di 1

    y=\log_a(x), \mbox{ con } a>1

    ha le seguenti caratteristiche:

    - è una curva che è grafico di una funzione strettamente crescente;

    - si trova nel semipiano positivo delle ascisse;

    - interseca l'asse x nel punto di ascissa 1, ossia in (1,0);

    - cresce molto velocemente per 0<x<1 e rallenta la crescita per x>1;

    - l'asse y è un asintoto verticale destro;

    - è simmetrico al grafico della funzione esponenziale con base maggiore di 1 y=a^x rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

    Nella seguente immagine potete osservare in blu il grafico del logaritmo naturale di x y=\ln(x), in rosso il grafico del logaritmo in base 10 di x y=\log_{10}(x).

     

    Grafico logaritmo con base maggiore di 1

    In blu il logaritmo naturale y=ln(x), in rosso il logaritmo in base 10 y=log10(x).

     

    Grafico del logaritmo con base compresa tra 0 e 1

    Il grafico della funzione logaritmo con base compresa tra 0 e 1

    y=\log_a(x), \mbox{ con } 0<a<1

    gode delle seguenti proprietà:

    - è una curva che è grafico di una funzione strettamente decrescente;

    - si trova nel semipiano positivo delle ascisse;

    - interseca l'asse delle ascisse nel punto (1,0);

    - decresce molto velocemente per 0<x<1 per poi decrescere molto più lentamente per x>1;

    - l'asse delle ordinate è un asintoto verticale destro;

    - è simmetrico al grafico della funzione esponenziale con base compresa tra 0 e 1 y=a^x rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

    Nell'immagine che segue abbiamo riportato: in blu il grafico del logaritmo in base 1/2 di x y=\og_{\frac{1}{2}}(x), in rosso il grafico del logaritmo in base 1/4 di x y=\log_{\frac{1}{4}}(x).

     

    Grafico logaritmo con base compresa tra 0 e 1

    In blu il logaritmo in base 1/2 y=log(1/2)(x), in rosso il logaritmo in base 1/4 y=log(1/4)(x).

     

    Grafico di funzioni con il logaritmo

    Per tracciare il grafico di una funzione si dovrebbe effettuare lo studio di funzione completo, ma se l'espressione della funzione non è troppo complicata allora possiamo disegnarlo modificando opportunamente il grafico delle funzioni elementari.

    Attraverso le regole che elencheremo tra un istante sarà possibile tracciare il grafico di alcune funzioni con logaritmi partendo dal grafico del logaritmo, cioè dal grafico della funzione y=\log_a(x).

    1) Se si somma una costante c>0 all'argomento della funzione logaritmo, il grafico di y=\log_a(x+c) si ottiene traslando verso sinistra il grafico di y=\log_a(x) se la costante è positiva, oppure verso destra se la costante c è negativa.

    2) Sommando una costante al logaritmo, ossia considerando y=\log_a(x)+c, il grafico si sposta verso l'alto se la costante è positiva, verso il basso se la costante è negativa.

    3) Se compare un modulo applicato all'argomento del logaritmo, ossia y=\log_a(|x|), bisogna simmetrizzare rispetto all'asse y la parte di grafico che giace nel semipiano positivo delle x.

    4) Se compare un modulo applicato all'intera funzione, ossia y=|\log_a(x)|, si deve ribaltare rispetto all'asse x la parte di grafico che giace nel semipiano negativo delle ordinate.

    ***

    Per tutti gli approfondimenti del caso e per vedere altri esempi vi consigliamo la lettura della nostra lezione sul grafico intuitivo. Se invece vi occorre un tool per tracciare il grafico di una funzione online - click!

    Risposta di Galois
 
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