Soluzioni
  • Scusami per il ritardo Silvi, inizio subito :D

    Abbiamo l'equazione logaritmica (click per la lezione con i metodi di risoluzione):

    \frac{\log(1+8x)}{\log(3x)}= 2

    Per prima cosa determiniamo il campo d'esistenza:

    \begin{cases}1+8x>0\\ 3x>0\\ \log(3x)\ne 0\end{cases}

    Dalla prima disequazione otteniamo:

    x>\frac{1}{8}

    Dalla seconda disequazione

    x>0

    Dall'ultima equazione otteniamo:

    \log(3x)\ne 0\iff 3x\ne 1\iff x\ne \frac{1}{3}

    Il campo d'esistenza è quindi:

    C.E: x>\frac{1}{8}, x\ne \frac{1}{3}

    Fatto ciò portiamo al primo membro il due:

    \frac{\log(1+8x)}{\log(3x)}-2=0

    Facciamo il minimo comune multiplo:

    \frac{\log(1+8x)-2\log(3x)}{\log(3x)}=0

    Il denominatore non serve più. Possiamo considerare l'equazione:

    \log(1+8x)-2\log(3x)=0

    Portiamo al secondo membro 2 log(3x)

    \log(1+8x)= 2\log(3x)

    Utilizziamo ora la proprietà dei logaritmi:

    \alpha \log(\beta)= \log(\beta^\alpha)\qquad \beta >0

    La precedente equazione si riscrive come:

    \log(1+8x)= \log(9x^2)

    Abbiamo due logaritmi con la stessa base, essi sono uguali se hanno lo stesso argomento:

    1+8x= 9x^2

    Abbiamo quindi una equazione di secondo grado completa:

    -9x^2+8x+1=0\iff 9x^2-8x-1=0

    Risolviamo l'equazione con il metodo classico:

    \Delta= 64+36= 100\implies \sqrt{\Delta}=10

    Le soluzioni sono:

    x_1= \frac{8-10}{18}= -\frac{1}{9}

    che non è accettabile perché non appartiene al campo d'esistenza

    x_2= \frac{8+10}{18}= 1

    questa è accettabile :)

     

    Ti faccio notare che la proprietà dei logaritmi è:

    \log\frac{a}{b}= \log(a)-\log(b)\qquad a,b>0

    e non

    \frac{\log(a)}{\log(b)}= \log(a-b)

    è un errore che si commette spesso ;)

    Risposta di Ifrit
  • Grazie mille!!!

    Potresti darmi degli esercizi sulle equazioni/disequazioni esponenziali e logaritmiche?

    Perchè mercoledì ho la verifica e visto che sono in ballottaggio per l'8 vorrei prendere un buon voto.

    Magari con i risultati affianco, se non chiedo molto. Scusami e se ti è impossibile capisco. Ti faccio i complimenti perchè questo è uno dei pochissimi siti che è disposto ad aiutare i ragazzi!

    Risposta di Silvi
  • Eccomi :D

    YouMath offre degli esercizi dedicati alle equazioni logaritmiche - Livello Beginner, poi una scheda di equazioni logaritmiche di livello intermedio, ed infine quelli avanzati.

    Nel caso avessi bisogno di ulteriori chiarimenti, ormai sai cosa fare :D

    Risposta di Ifrit
  • Siete fantastici, grazie grazie di cuore!

    Risposta di Silvi
 
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