Soluzioni
  • Prima di procedere con i passaggi algebrici che conducono alle soluzioni dell'equazione logaritmica

    \frac{\log(1+8x)}{\log(3x)}=2

    bisogna innanzitutto imporre le condizioni di esistenza: in particolare richiederemo che

    - gli argomenti dei logaritmi siano maggiori di zero;

    - il denominatore al primo membro sia diverso da zero.

    Poiché le condizioni devono valere contemporaneamente, dovremo considerare il sistema di disequazioni

    \begin{cases}1+8x>0\\ \\ 3x>0 \\ \\ \log(3x)\ne 0\end{cases}

    Dalla prima disequazione otteniamo

    x>-\frac{1}{8}

    dalla seconda

    x>0

    Per quanto concerne l'ultima relazione ricaviamo invece

    \log(3x)\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ 3x\ne 1 \ \ \ \to \ \ \ x\ne\frac{1}{3}

    pertanto il sistema che definisce l'insieme di esistenza delle soluzioni diventa

    \begin{cases}x>-\frac{1}{8}\\ \\ x>0\\ \\ x\ne\frac{1}{3}\end{cases}

    ed è soddisfatto se x>0 con x\ne\frac{1}{3}. Le condizioni di esistenza sono quindi:

    C.E.: \ x>0 \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne\frac{1}{3}

    dove \wedge è il connettivo logico che indica la congiunzione "e".

    Fatto ciò, scriviamo l'equazione fratta in forma normale trasportando al primo membro 2

    \frac{\log(1+8x)}{\log(3x)}-2=0

    Calcoliamo il minimo comune multiplo

    \frac{\log(1+8x)-2\log(3x)}{\log(3x)}=0

    e infine cancelliamo il denominatore

    \log(1+8x)-2\log(3x)=0

    Utilizziamo ora la proprietà dei logaritmi

    a\log(b)=\log(b^a)\ \ \ \mbox{con} \ b>0

    mediante la quale otteniamo

    \\ \log(1+8x)-\log((3x)^2)=0 \\ \\ \log(1+8x)-\log(9x^2)=0

    Isoliamo \log(1+8x) al primo membro

    \log(1+8x)=\log(9x^2)

    e ricordiamo che due logaritmi con la stessa base coincidono se e solo se hanno il medesimo argomento. Per questo motivo consideriamo l'equazione di secondo grado

    1+8x=9x^2

    che espressa in forma normale diventa

    9x^2-8x-1=0

    Poniamo

    a=9 \ \ \ , \ \ \ b=-8 \ \ \ , \ \ \ c=-1

    e osserviamo che b è un numero pari, pertanto possiamo sfruttare la formula del delta quarti:

    \\ x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac}}{a}=\frac{4\pm\sqrt{16-9\cdot(-1)}}{9}=\\ \\ \\ =\frac{4\pm\sqrt{25}}{9}=\begin{cases}\frac{4-5}{9}=-\frac{1}{9}=x_1\\ \\ \frac{4+5}{9}=1=x_2\end{cases}

    Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono quindi

    x_1=-\frac{1}{9}\ \ \ , \ \ \ x_2=1

    però attenzione! Solo x=1 è soluzione dell'equazione di partenza, infatti è l'unica che soddisfa le condizioni di esistenza.

    In conclusione, l'unica soluzione dell'equazione

    \frac{\log(1+8x)}{\log(3x)}=2

    è x=1.

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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