Soluzioni
  • Grazie per aver riaperto la domanda, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per studiare le soluzioni del sistema lineare

    \begin{matrix}x_1-x_2+ax_3=-1\\ ax_1+2x_3=-2\\ x_2+x_3=-1\end{matrix}

    si può procedere per sostituzione e ricavare le soluzioni, dipendenti dal parametro a, a partire dalla seconda equazione. Dopo un paio di conti si trova

    x_{3}=-\frac{a}{2}x_1-1

    x_{2}=\frac{a}{2}x_1

    x_1=\frac{2a-2}{2-a-a^2}

    (controlla i conti).

     

    Consideriamo i valori di a che annullano il denominatore della soluzione relativa alla variabile x_1, vale a dire a=1,a=-2, e ripartiamo dall'inizio.

     

    Se a=1 la prima equazione diventa della forma 0=0 (dopo aver effettuato le sostituzioni), per cui il sistema è indeterminato e chiamando t un parametro reale libero, possiamo assegnare x_1=t per cui le soluzioni del sistema sono date da

    x_{3}=-\frac{1}{2}t-1

    x_{2}=\frac{1}{2}t

    x_1=t

    vale a dire: una retta nello spazio.

     

    Se a=-2, il sistema è impossibile.

     

    Se a\neq 1\wedge a\neq -2 la soluzione è una e una sola ed è quella scritta sopra (devi solo sostituire l'espressione di x_1 nelle altre due equazioni relative a x_2,x_3),. Un vettore di tre componenti - un punto nello spazio.

    ---

    Tutto chiaro fin qui?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • sisi....il mio problema riguarda l'interpretazione geometrica.... :/

    Risposta di xeltonx
  • Quella l'abbiamo già risolta: punto o retta, a seconda dei casi Laughing

    Per quanto riguarda l'aggiunta di un'equazione, è sufficiente aggiungere al sistema un'equazione che dipenda linearmente dalle prime tre, o anche solo da due o da una. Nel modo più semplice possibile, possiamo considerare un'equazione che sia multipla della terza equazione del sistema, diciamo

    2x_2+2x_3=-2

    In questo modo si ottiene un sistema 4x3 (quattro equazioni, tre incognite) in cui una delle quattro equazioni dipende linearmente dalle altre, quindi è del tutto ininfluente dal punto di vista della compatibilità e dell'insieme delle soluzioni rispetto al sistema inizialmente considerato.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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