Svolgimento equazione differenziale del secondo ordine

Ciao, non so come procedere nello svolgimento di un'equazione differenziale del secondo ordine non omogenea.

y"=2 ln |x| - 1

Chi mi aiuta? Sono riuscita a calcolare y', ma poi mi blocco... !

In Uni - Analisi - Domanda di Feda.Kira

Soluzioni

Ciao Feda.Kira arrivo :D

Risposta di Ifrit
Allur, prima di procedere ho bisogno di qualche informazione in più, l'esercizio è posto così come lo hai scritto? :)

Risposta di Ifrit
Ciao,si l'esercizio è questo

y"=2 ln x - 1

e la consegna è questa

risolvi le seguenti equazioni differenziali nella forma y"= f(x)

Risposta di Feda.Kira
Ti spiego, il mio problema era il valore assoluto presente nella equazione differenziale, ma se non c'è allora non ci sono problemi ;)

Dammi il tempo di svolgere i conti e arrivo :D

Risposta di Ifrit
Abbiamo l'equazione differenziale:

$y''= 2\ln(x)-1$

Per ottenere la famiglia di funzioni che risolve l'equazione differenziale dobbiamo integrare due volte la funzione al secondo membro:

$y'(x)= \int 2\ln(x)-1dx= 2\int \ln(x)dx-\int dx$

Ora:

$\int dx= x+c_1$

mentre per risolvere l'integrale:

$\int \ln(x)dx$

dobbiamo procedere per parti, scegliendo come fattore finito (da derivare) la funzione:

$f(x)= \ln(x)\implies f'(x)= \frac{1}{x}$

e come fattore differenziale la funzione:

$g'(x)= 1\implies g(x)= x$

Utilizzando la formula di integrazione per parti:

$\int \ln(x)dx= x\ln(x)-\int x\cdot \frac{1}{x}dx=$

$=x\ln(x)-\int dx= x\ln(x)-x+c_2$

Di conseguenza:

$y'(x)= 2x\ln(x)-2x+2c_2-x-c_1= 2x\ln(x)-3x+c$

dove

è una costante reale.

Dobbiamo ora integrare la funzione:

$2x\ln(x)-3x+c$

$y(x)= \int 2x\ln(x)-3x+c dx$

$=2\int x\ln(x)dx-3\int xdx+\int c dx$

Risolviamo il primo integrale:

$\int x\ln(x)dx$

procediamo per parti scegliendo come fattore finito:

$f(x)= \ln(x)\implies f'(x)= \frac{1}{x}$

e come fattore differenziale

$g'(x)= x\implies g(x)= \frac{x^2}{2}$

Per la formula di integrazione per parti abbiamo:

$\int x\ln(x)dx= \frac{x^2}{2}\ln(x)-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^2}{2}dx=$

$\frac{x^2}{2}\ln(x)-\int \frac{x}{2}dx=$

$\frac{x^2}{2}\ln(x)-\frac{x^2}{4}+k_1$

mentre

$\int xdx= \frac{x^2}{2}+k_2$

infine:

$\int cdx= c x+k_3$

In definitiva abbiamo che:

$y(x)= \int 2x\ln(x)-3x+c dx$

$=2\overbrace{\int x\ln(x)dx}^{\frac{x^2}{2}\ln(x)-\frac{x^2}{4}+k_1}-3\overbrace{\int xdx}^{\frac{x^2}{2}+k_2}+\overbrace{\int c dx}^{c x+k_3}=$

$= x^2\ln(x)-\frac{x^2}{2}+2k_1-\frac{3x^2}{2}-3k_2+cx+k_3=$

$= x^2\ln(x)-2x^2+c x+k$

dove

Se hai domande sono qui :)

Risposta di Ifrit
grazie,tutto chiaro :) :)

Risposta di Feda.Kira