Soluzioni
  • Ciao Feda.Kira arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Allur, prima di procedere ho bisogno di qualche informazione in più, l'esercizio è posto così come lo hai scritto? :)

    Risposta di Ifrit
  • Ciao,si l'esercizio è questo

    y"=2 ln x - 1

     

    e la consegna è questa

     

    risolvi le seguenti equazioni differenziali nella forma y"= f(x)

    Risposta di Feda.Kira
  • Ti spiego, il mio problema era il valore assoluto presente nella equazione differenziale, ma se non c'è allora non ci sono problemi ;)

    Dammi il tempo di svolgere i conti e arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo l'equazione differenziale:

    y''= 2\ln(x)-1

    Per ottenere la famiglia di funzioni che risolve l'equazione differenziale dobbiamo integrare due volte la funzione al secondo membro:

     

    y'(x)= \int 2\ln(x)-1dx= 2\int \ln(x)dx-\int dx

    Ora:

    \int dx= x+c_1

    mentre per risolvere l'integrale:

    \int \ln(x)dx

    dobbiamo procedere per parti,  scegliendo come fattore finito (da derivare) la funzione:

    f(x)= \ln(x)\implies f'(x)= \frac{1}{x}

    e come fattore differenziale la funzione:

    g'(x)= 1\implies g(x)= x

    Utilizzando la formula di integrazione per parti:

    \int \ln(x)dx= x\ln(x)-\int x\cdot \frac{1}{x}dx=

    =x\ln(x)-\int dx= x\ln(x)-x+c_2

    Di conseguenza:

    y'(x)= 2x\ln(x)-2x+2c_2-x-c_1= 2x\ln(x)-3x+c

    dove 

    c=2c_2-c_1

    è una costante reale.

    Dobbiamo ora integrare la funzione:

    2x\ln(x)-3x+c

    y(x)= \int 2x\ln(x)-3x+c dx

    =2\int x\ln(x)dx-3\int xdx+\int c dx

    Risolviamo il primo integrale:

    \int x\ln(x)dx

    procediamo per parti scegliendo come fattore finito:

    f(x)= \ln(x)\implies f'(x)= \frac{1}{x}

    e come fattore differenziale 

    g'(x)= x\implies g(x)= \frac{x^2}{2}

    Per la formula di integrazione per parti abbiamo:

    \int x\ln(x)dx= \frac{x^2}{2}\ln(x)-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^2}{2}dx=

    \frac{x^2}{2}\ln(x)-\int \frac{x}{2}dx=

    \frac{x^2}{2}\ln(x)-\frac{x^2}{4}+k_1

    mentre

    \int xdx= \frac{x^2}{2}+k_2

    infine:

    \int cdx= c x+k_3

     

    In definitiva abbiamo che:

    y(x)= \int 2x\ln(x)-3x+c dx

    =2\overbrace{\int x\ln(x)dx}^{\frac{x^2}{2}\ln(x)-\frac{x^2}{4}+k_1}-3\overbrace{\int xdx}^{\frac{x^2}{2}+k_2}+\overbrace{\int c dx}^{c x+k_3}=

     

    = x^2\ln(x)-\frac{x^2}{2}+2k_1-\frac{3x^2}{2}-3k_2+cx+k_3=

    = x^2\ln(x)-2x^2+c x+k

    dove

    k= 2k_1-3k_2+k_3

     

    Se hai domande sono qui :)

    Risposta di Ifrit
  • grazie,tutto chiaro :) :)

    Risposta di Feda.Kira
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi