Soluzioni
  • La funzione fratta

    f(x)=\frac{x^2(x-2)}{e^{x}}

    ha per dominio tutto l'asse reale. Osserviamo infatti che dovremmo richiedere che il denominatore sia diverso da 0, ma la condizione

    e^{x}\ne0

    è soddisfatta per ogni x\in\mathbb{R} perché la funzione esponenziale è certamente diversa da 0: in definitiva

    Dom(f)=\mathbb{R}=(-\infty, +\infty)

    Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio, ossia i limiti

    \lim_{x\to-\infty}f(x) \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \lim_{x\to+\infty}f(x)

    partendo da quello per x\to+\infty

    \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2(x-2)}{e^{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3-2x^2}{e^{x}}=0

    Il limite è 0 perché la funzione esponenziale è un infinito di ordine superiore rispetto ad ogni polinomio. Dalla nullità del limite comprendiamo che f(x) ammette un asintoto orizzontale destro di equazione

    y=0

    Consideriamo il limite per x\to-\infty che può essere calcolato grazie all'algebra degli infiniti e degli infinitesimi

    \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2(x-2)}{e^{x}}=\left[\frac{-\infty}{0^{+}}\right]=-\infty

    Poiché il limite è infinito, certamente la funzione non può ammettere l'asintoto orizzontale sinistro. Attenzione! Potrebbe esserci un asintoto obliquo. Impostiamo il limite che definisce il coefficiente angolare dell'eventuale asintoto obliquo: esso deve essere finito e diverso da 0

    m=\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{\frac{x^2(x-2)}{e^{x}}}{x}=

    Scriviamo la frazione di frazioni in forma normale e semplifichiamo x

    =\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2(x-2)}{xe^{x}}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x(x-2)}{e^{x}}=\left[\frac{+\infty}{0^{+}}\right]=+\infty

    Il risultato del limite si giustifica mediante l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi.

    Poiché il limite che definisce il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo non è finito, concludiamo che la funzione non ammette asintoto obliquo.

    Osserviamo che la funzione non possiede alcun asintoto verticale dato che f(x) è una funzione continua su tutto l'asse reale in quanto composizione di funzioni continue.

    Risposta di Ifrit
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