Dubbi con i limiti agli estremi per gli asintoti

Question

Salve, mi è capitato un esercizio in cui mi si chiede di calcolare il dominio e gli asintoti di una funzione fratta con esponenziale. Determinare il dominio e gli eventuali asintoti della funzione f(x) = (x^2(x-2))/(e^(x)) Come faccio? Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

La funzione fratta f(x) = (x^2(x-2))/(e^(x)) ha per dominio tutto l'asse reale. Osserviamo infatti che dovremmo richiedere che il denominatore sia diverso da 0, ma la condizione e^(x) ne0 è soddisfatta per ogni x∈R perché la funzione esponenziale è certamente diversa da 0: in definitiva Dom(f) = R = (-∞,+∞) Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio, ossia i limiti lim_(x → -∞)f(x) e lim_(x → +∞)f(x) partendo da quello per x → +∞ lim_(x → +∞)f(x) = lim_(x → +∞)(x^2(x-2))/(e^(x)) = lim_(x → +∞)(x^3-2x^2)/(e^(x)) = 0 Il limite è 0 perché la funzione esponenziale è un infinito di ordine superiore rispetto ad ogni polinomio. Dalla nullità del limite comprendiamo che f(x) ammette un asintoto orizzontale destro di equazione y = 0 Consideriamo il limite per x → -∞ che può essere calcolato grazie all'algebra degli infiniti e degli infinitesimi lim_(x → -∞)f(x) = lim_(x → -∞)(x^2(x-2))/(e^(x)) = [(-∞)/(0^(+))] = -∞ Poiché il limite è infinito, certamente la funzione non può ammettere l'asintoto orizzontale sinistro. Attenzione! Potrebbe esserci un asintoto obliquo. Impostiamo il limite che definisce il coefficiente angolare dell'eventuale asintoto obliquo: esso deve essere finito e diverso da 0 m = lim_(x → -∞)(f(x))/(x) = lim_(x → -∞)((x^2(x-2))/(e^(x)))/(x) = Scriviamo la frazione di frazioni in forma normale e semplifichiamo x = lim_(x → -∞)(x^2(x-2))/(xe^(x)) = lim_(x → -∞)(x(x-2))/(e^(x)) = [(+∞)/(0^(+))] = +∞ Il risultato del limite si giustifica mediante l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi. Poiché il limite che definisce il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo non è finito, concludiamo che la funzione non ammette asintoto obliquo. Osserviamo che la funzione non possiede alcun asintoto verticale dato che f(x) è una funzione continua su tutto l'asse reale in quanto composizione di funzioni continue.