Esercizio sull'equazione di un piano parallelo a un piano

Question

L'esercizio che sto tentando di risolvere mi chiede di trovare l'equazione di un piano passante per un punto e parallelo a un altro piano di cui conosco l'equazione cartesiana. Quali sono i passi che permettono di risolvere il problema? Scrivere l'equazione del piano π_1 passante per il punto P(3,1,1) e parallelo al piano π_2 di equazione π_2: 2x-y-3z-1 = 0 Grazie mille.

Giuseppe Carichino · Accepted Answer

L'equazione cartesiana del piano π_1 si presenterà nella forma π_1: ax+by+cz+d = 0 dove a,b,c,d sono numeri reali con almeno uno tra a,b,c diverso da zero. Per ricavare a,b,c affinché π_1 sia parallelo al piano π_2 di equazione π_2: 2x-y-3z-1 = 0 possiamo fare affidamento alla condizione di parallelismo tra piani: essa garantisce che due piani sono paralleli se e solo se i vettori dei coefficienti direttori dei piani sono tra loro proporzionali (o in particolare uguali). Indichiamo con n_(π_1) il vettore composto dai coefficienti di x,y,z che figurano nell'equazione di π_1 n_(π_1) = (a,b,c) e con n_(π_2) il vettore dei coefficienti di x,y,z che figurano nell'equazione di π_2 n_(π_2) = (2,-1,-3) Se imponiamo che n_(π_1) = n_(π_2), ossia se: a = 2 , b = -1 , c = -3 π_1 e π_2 saranno certamente piani paralleli. Utilizziamo i valori ottenuti per comporre l'equazione di π_1 ; π_1: ax+by+cz+d = 0 ; π_1: 2x-y-3z+d = 0 Dobbiamo ancora trovare d, il cui valore può essere determinato imponendo la condizione di passaggio di π_1 per il punto P_(0)(3,1,1). P_(0)∈π_1 ⇔ 2·3-1-3·1+d = 0 da cui d = -2 Grazie al valore ottenuto, possiamo concludere che l'equazione di π_1 parallelo a π_2 e passante per P_(0) è: π_1: 2x-y-3z-2 = 0 Fatto!