Soluzioni
  • L'equazione cartesiana del piano \pi_1 si presenterà nella forma

    \pi_1:\ ax+by+cz+d=0

    dove a,b,c,d sono numeri reali con almeno uno tra a,b,c diverso da zero. Per ricavare a,b,c affinché \pi_1 sia parallelo al piano \pi_2 di equazione

    \pi_2:\ 2x-y-3z-1=0

    possiamo fare affidamento alla condizione di parallelismo tra piani: essa garantisce che due piani sono paralleli se e solo se i vettori dei coefficienti direttori dei piani sono tra loro proporzionali (o in particolare uguali).

    Indichiamo con \mathbf{n}_{\pi_1} il vettore composto dai coefficienti di x,y,z che figurano nell'equazione di \pi_1

    \mathbf{n}_{\pi_1}=(a,b,c)

    e con \mathbf{n}_{\pi_2} il vettore dei coefficienti di x,y,z che figurano nell'equazione di \pi_2

    \mathbf{n}_{\pi_2}=(2,-1,-3)

    Se imponiamo che \mathbf{n}_{\pi_1}=\mathbf{n}_{\pi_2}, ossia se:

    a=2\ \ , \ \ b=-1 \ \ , \ \ c=-3

    \pi_1 \ \mbox{e}\ \pi_2 saranno certamente piani paralleli.

    Utilizziamo i valori ottenuti per comporre l'equazione di \pi_1

    \\ \pi_1:\ ax+by+cz+d=0 \\ \\ \pi_1:\ 2x-y-3z+d=0

    Dobbiamo ancora trovare d, il cui valore può essere determinato imponendo la condizione di passaggio di \pi_1 per il punto P_{0}(3,1,1).

    P_{0}\in\pi_1 \ \iff \ 2\cdot 3-1-3\cdot 1+d=0

    da cui

    d=-2

    Grazie al valore ottenuto, possiamo concludere che l'equazione di \pi_1 parallelo a \pi_2 e passante per P_{0} è:

    \pi_1:\ 2x-y-3z-2=0

    Fatto!

    Risposta di Galois
 
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