Soluzioni
  • Ciao marcolino007, arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo i seguenti dati:

    \begin{cases}BP=4a\\ PC=5a\\AP+PH=21a\end{cases}

    Poniamo 

    PH=x

    di conseguenza l'altezza del trapezio rettangolo è:

    BH= PH+ BP=x+4a

    Osserviamo che i triangoli ABP e PHC sono simili, perché hanno i tre angoli congruenti (vedi criteri di similitudine per triangoli). Sappiamo quindi che:

    BP:PH=AP:PC=AB:HC

    Consideriamo la proporzione:

    BP:x= AP:PC

    dunque:

    4a:x= AP: 5a

    Inoltre dalla relazione AP+x=21a segue che:

    AP= 21a-x

    Sostituendo otteniamo:

    4a:x=(21a-x):5a 

    Per la proprietà fondamentale delle proporzioni:

    x(21a-x)= 20a^2

    21ax- x^2=20a^2

    Risolviamo l'equazione:

    -x^2+21ax-20a^2=0

    Otterremo due soluzioni:

    x=a

    oppure 

    x=20 a

    Ora impostiamo l'equazione:

    HC=\sqrt{PC^2-PH^2}=\sqrt{25a^2-x^2}

    Poiché HC deve essere un numero reale allora dobbiamo imporre che:

    25a^2-x^2\ge 0\iff x^2\le 25 a^2\iff x\le 5a

    HC=\sqrt{25a^2- a^2}=\sqrt{24a^2}=2\sqrt{6}a

    Da questo segue che la soluzione x= 20 a non  è accettabile, dunque 

    x=a

    Da questo segue che:

    AP= 21a-x= 20a

    Ed inoltre:

    BH=x+4a= a+4a=5a

    A questo punto consideriamo la proporzione:

    AP:PC=AB:HC

    20a:5a=AB:2\sqrt{6}a

    Possiamo calcolare:

    AB= \frac{20a\times 2\sqrt{6}a}{5a}=8\sqrt{6}a

    Possiamo infine calcolare DC:

    DC=AB+HC= 2\sqrt{6}a+ 8\sqrt{6}a= 10\sqrt{6}a

    Abbiamo le basi e l'altezza, possiamo calcolare l'area:

    A= \frac{(AB+ DC)\times BH}{2}=\frac{(8\sqrt{6}a+10\sqrt{6}a)\times 5a}{2}=45a^2\sqrt{6}

    Per calcolare il perimetro abbiamo bisogno del lato BC:

    BC= \sqrt{HC^2+ BH^2}=\sqrt{(2\sqrt{6}a)^2+ (5a)^2}=\sqrt{49a^2}= 7a

    Il perimetro é quindi:

    P=AB+BC+CD+DA=8\sqrt{6}a+ 7a+10\sqrt{6}a+5a=18\sqrt{6}a+12a=6a(3\sqrt{6}+2)

    Risposta di Ifrit
 
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