Esercizio su equazione irrazionale con parametro

Question

Non riesco a risolvere questa equazione irrazionale con un parametro: √(x^2-3a x+2a)+2a = x Mi potreste indicare il procedimento per risolvere questo particolare tipo di equazioni? Grazie!

Redazione di YouMath · Accepted Answer

L'equazione è, come hai correttamente scritto, un'equazione irrazionale parametrica: √(x^2-3a x+2a)+2a = x Portiamo l'equazione irrazionale in forma canonica: √(x^2-3a x+2a) = x-2a L'equazione sopra è equivalente al seguente sistema: x^2-3a x+2a ≥ 0 ; x-2a ≥ 0 ; x^2-3ax+2a = (x-2a)^2 Risolviamo la prima disequazione: Δ = 9a^2-8a ⇒ √(Δ) = √(9a^2-8a) Le soluzioni della equazione omogenea associata sono: x_1 = (3a-√(9a^2-8a))/(2) x_2 = (3a+√(9a^2-8a))/(2) La disequazione è soddisfatta per valori esterni: x ≤ x_1 ∨ x ≥ x_2 La seconda disequazione ha per soluzione: x-2a ≥ 0 ⇔ x ≥ 2a Consideriamo l'ultima equazione: x^2-3a x+2a = (x-2a)^2 Sviluppiamo il quadrato del binomio: x^2-3ax+2a = x^2+4a^2-4ax Portiamo tutto al primo membro e sommiamo i monomi simili: ax = -2a+4a^2 Ora se a è diverso da zero, possiamo dividere membro a membro: x = (-2a+4a^2)/(a) = (a(-2+4a))/(a) = 4a-2 mentre per a = 0 abbiamo l'identità che è soddisfatta solo per x > 0.