Esercizio su equazione irrazionale con parametro

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Non riesco a risolvere questa equazione irrazionale con un parametro:

 

√(x^2-3a x+2a)+2a = x

 

Mi potreste indicare il procedimento per risolvere questo particolare tipo di equazioni? Grazie!

Domanda di Franci

 
Soluzione

  • L'equazione è, come hai correttamente scritto, un'equazione irrazionale parametrica:

    √(x^2-3a x+2a)+2a = x

    Portiamo l'equazione irrazionale in forma canonica:

    √(x^2-3a x+2a) = x-2a

    L'equazione sopra è equivalente al seguente sistema:

    x^2-3a x+2a ≥ 0 ; x-2a ≥ 0 ; x^2-3ax+2a = (x-2a)^2

    Risolviamo la prima disequazione:

    Δ = 9a^2-8a ⇒ √(Δ) = √(9a^2-8a)

    Le soluzioni della equazione omogenea associata sono:

    x_1 = (3a-√(9a^2-8a))/(2)

    x_2 = (3a+√(9a^2-8a))/(2)

    La disequazione è soddisfatta per valori esterni:

    x ≤ x_1 ∨ x ≥ x_2

    La seconda disequazione ha per soluzione:

    x-2a ≥ 0 ⇔ x ≥ 2a

    Consideriamo l'ultima equazione:

    x^2-3a x+2a = (x-2a)^2

    Sviluppiamo il quadrato del binomio:

    x^2-3ax+2a = x^2+4a^2-4ax

    Portiamo tutto al primo membro e sommiamo i monomi simili:

    ax = -2a+4a^2

    Ora se a è diverso da zero, possiamo dividere membro a membro:

    x = (-2a+4a^2)/(a) = (a(-2+4a))/(a) = 4a-2

    mentre per a=0 abbiamo l'identità che è soddisfatta solo per x>0.

    Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
    Ultima modifica:

 
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