Esercizio sulle formule per gli archi associati

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Salve ragazzi mi date una mano ad applicare le formule per gli archi associati in questo esercizio? Devo semplificare un'espressione goniometrica...

 

2\sin^2(\pi-\alpha)+ \cos^4(\alpha)-\sin^4(\pi-\alpha)

 

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Domanda di first100

 
Soluzioni

  • Abbimo l'espressione:

    2\sin^2(\pi-\alpha)+ \cos^4(\alpha)-\sin^4(\pi-\alpha)=

    Consideriamo le seguenti uguaglianze, date dalle angoli associati

    \sin(\pi-\alpha)=\sin(-(\alpha-\pi))=-\sin(\alpha-\pi)= -(-\sin(\alpha))=\sin(\alpha)

    Di conseguenza:

    \sin^2(\pi-\alpha)= \sin^2(\alpha)

    mentre:

    \sin^4(\pi-\alpha)= \sin^4(\alpha)

    L'espressione diventa:

    2\sin^2(\alpha)+ \cos^4(\alpha)-\sin^4(\alpha)=

    Osserva ora che:

    \cos^4(\alpha)-\sin^4(\alpha)=(\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha))\cdot (\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha))

    Per la relazione fondamentale della trigonometria (vedi formule trigonometriche)

    \cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1

    Quindi 

    \cos^4(\alpha)-\sin^4(\alpha)=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)

    Quindi:

    2\sin^2(\alpha)+ \cos^4(\alpha)-\sin^4(\alpha)=

    2\sin^2(\alpha)+ \cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)=

    Sommando i seni abbiamo:

    \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1

    Risposta di Ifrit
 
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