Esercizio sulle formule per gli archi associati

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Salve ragazzi mi date una mano ad applicare le formule per gli archi associati in questo esercizio? Devo semplificare un'espressione goniometrica...

 

2sin^2(π-α)+cos^4(α)-sin^4(π-α)

 

Il risultato è 1. Grazie! :)

Domanda di first100

 
Soluzioni

  • Abbimo l'espressione:

    2sin^2(π-α)+cos^4(α)-sin^4(π-α) =

    Consideriamo le seguenti uguaglianze, date dalle angoli associati

    sin(π-α) = sin(-(α-π)) = -sin(α-π) = -(-sin(α)) = sin(α)

    Di conseguenza:

    sin^2(π-α) = sin^2(α)

    mentre:

    sin^4(π-α) = sin^4(α)

    L'espressione diventa:

    2sin^2(α)+cos^4(α)-sin^4(α) =

    Osserva ora che:

    cos^4(α)-sin^4(α) = (cos^2(α)-sin^2(α))·(cos^2(α)+sin^2(α))

    Per la relazione fondamentale della trigonometria (vedi formule trigonometriche)

    cos^2(α)+sin^2(α) = 1

    Quindi 

    cos^4(α)-sin^4(α) = cos^2(α)-sin^2(α)

    Quindi:

    2sin^2(α)+cos^4(α)-sin^4(α) =

    2sin^2(α)+cos^2(α)-sin^2(α) =

    Sommando i seni abbiamo:

    sin^2(α)+cos^2(α) = 1

    Risposta di Ifrit
 
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