Soluzioni
  • Ciao Xeltonx, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • L'esercizio richiede di determinare le equazioni che descrivono tutti e soli gli elementi dello spazio generato da

    \{(1,2,3,4),(0,1,1,1),(1,3,4,5)\}

    In primo luogo osserviamo che tutti e soli gli elementi dello spazio generato da tali vettori sono generati dai primi due vettori del sistema: il terzo infatti dipende linearmente dai primi due (basta sommarli), per cui ci interessa descrivere mediante equazioni

    Span(\{(1,2,3,4),(0,1,1,1)\})

    A questo punto si vede che il sottospazio di \mathbb{R}^4 ha dimensione 2, per cui sono sufficienti 2 equazioni per descriverlo. Per trovarle possiamo considerare le matrici

    M=\left[\begin{matrix}1&0\\ 2&1\\ 3&1\\ 4&1\end{matrix}\right]

    e la matrice "completa"

    M'=\left[\begin{matrix}1&0&x \\ 2&1&y\\ 3&1&z\\ 4&1&t\end{matrix}\right]

    e imporre che tali matrici abbiano lo stesso rango. Conviene ridurre la seconda matrice a scala mediante la procedura di eliminazione di Gauss, la conosci?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Capito! Grazie Omega!

    Per quanto riguarda la dimensione invece, questa risulta essere 2, e una base è costituita dai vettori di

    Span(\{(1,2,3,4),(0,1,1,1)\})

    visto che questi sono indipendenti, giusto?

    Risposta di xeltonx
  • Certamente Wink

    Per quanto riguarda l'eliminazione gaussiana, possiamo riscrivere la matrice completa prima nella forma

    M'=\left[\begin{matrix}1&0&x \\ 0&1&y-2x\\ 0&1&z-3x\\ 0&1&t-4x\end{matrix}\right]

    e poi come

    M'=\left[\begin{matrix}1&0&x \\ 0&1&y-2x\\ 0&0&z-3x-y+2x\\ 0&0&t-4x-y+2x\end{matrix}\right]

    ossia

    M'=\left[\begin{matrix}1&0&x \\ 0&1&y-2x\\ 0&0&z-y-x\\ 0&0&t-2x-y\end{matrix}\right]

    da cui deduciamo che le equazioni che descrivono il sottospazio sono date, ad esempio, da

    \begin{cases}z-y-x=0\\ t-2x-y=0\end{cases}

    Una base e la dimensione le abbiamo già individuate Laughing

    PS: la guida di riferimento qui su YM la trovi qui: equazioni cartesiane da un sistema di generatori.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Perfetto! Grazie ancora :D

    Risposta di xeltonx
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Senza categoria