Equazioni cartesiane di un sottospazio da un sistema di generatori

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Ciao! Come posso trovare le equazioni cartesiane di un sottospazio vettoriale a partire da un sistema di generatori? Ad esempio, come si procede nello svolgimento di questo esercizio?

 

Dato lo spazio vettoriale L in R^4 generato dal sistema di generatori X1(1,2,3,4), X2(0,1,1,1), X3(1,3,4,5), trovare una forma implicita, cioè un sistema omogeneo di equazioni cartesiane il cui spazio delle soluzioni coincida con L; successivamente, determinare la dimensione del sottospazio vettoriale L e trovarne una base.

 

Vi ringrazio in anticipo! :)

Domanda di xeltonx

 
Soluzioni

  • Ciao Xeltonx, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • L'esercizio richiede di determinare le equazioni che descrivono tutti e soli gli elementi dello spazio generato da

    (1,2,3,4),(0,1,1,1),(1,3,4,5)

    In primo luogo osserviamo che tutti e soli gli elementi dello spazio generato da tali vettori sono generati dai primi due vettori del sistema: il terzo infatti dipende linearmente dai primi due (basta sommarli), per cui ci interessa descrivere mediante equazioni

    Span((1,2,3,4),(0,1,1,1))

    A questo punto si vede che il sottospazio di R^4 ha dimensione 2, per cui sono sufficienti 2 equazioni per descriverlo. Per trovarle possiamo considerare le matrici

    M = [1 0 ; 2 1 ; 3 1 ; 4 1]

    e la matrice "completa"

    M'= [1 0 x ; 2 1 y ; 3 1 z ; 4 1 t]

    e imporre che tali matrici abbiano lo stesso rango. Conviene ridurre la seconda matrice a scala mediante la procedura di eliminazione di Gauss, la conosci?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Capito! Grazie Omega!

    Per quanto riguarda la dimensione invece, questa risulta essere 2, e una base è costituita dai vettori di

    Span((1,2,3,4),(0,1,1,1))

    visto che questi sono indipendenti, giusto?

    Risposta di xeltonx

  • Certamente Wink

    Per quanto riguarda l'eliminazione gaussiana, possiamo riscrivere la matrice completa prima nella forma

    M'= [1 0 x ; 0 1 y-2x ; 0 1 z-3x ; 0 1 t-4x]

    e poi come

    M'= [1 0 x ; 0 1 y-2x ; 0 0 z-3x-y+2x ; 0 0 t-4x-y+2x]

    ossia

    M'= [1 0 x ; 0 1 y-2x ; 0 0 z-y-x ; 0 0 t-2x-y]

    da cui deduciamo che le equazioni che descrivono il sottospazio sono date, ad esempio, da

    z-y-x = 0 ; t-2x-y = 0

    Una base e la dimensione le abbiamo già individuate Laughing

    PS: la guida di riferimento qui su YM la trovi qui: equazioni cartesiane da un sistema di generatori.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Perfetto! Grazie ancora :D

    Risposta di xeltonx
 
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