Equazione di un'iperbole equilatera e rette tangenti

Buongiorno, come faccio a risolvere questo problema sull'iperbole equilatera? Grazie!

Dopo aver scritto l’equazione dell’iperbole equilatera riferita agli assi avente un fuoco in F(3rad2;0) , determina le equazioni delle rette ad essa tangenti condotte dal punto P(0;1). Calcola poi l’area del triangolo PAB dove A e B sono i punti di tangenza.

Domanda di tappo

Soluzioni

Tieni a portata di mano il formulario sull'iperbole equilatera.
L'equazione dell'iperbole equilatera riferita ai propri assi è:
$\frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{a^2}= 1$
Sappiamo che il fuoco ha coordinate:
$F\left(3\sqrt{2}, 0\right)$
Poiché sappiamo che le coordinate generiche del fuoco sono:
$F(\pm a\sqrt{2}, 0)$
Imponendo l'uguaglianza con 3 sqrt(2) otteniamo:
$a\sqrt{2}= 3\sqrt{2}\implies a= 3\implies a^2= 9$
L'equazione dell'iperbole è quindi:
$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{9}=1\iff x^2-y^2= 9$
Consideriamo ora le rette tangenti che passano per il punto P(0, 1).
Determiniamo il fascio di rette passanti per il punto (0, 1):
Da cui
Impostiamo il sistema tra il fascio e l'iperbole:
$\begin{cases}x^2-y^2=9\\ y=mx+1\end{cases}$
L'equazione di secondo grado risolvente sarà:
Da cui
Calcoliamo il discriminante associato:
$\Delta= 4m^2- 4\cdot(-10)(1-m^2)=40-36m^2\iff 4(10-9m^2)$
Imponiamo la condizione di tangenza:
$\Delta=0\iff 10-9m^2=0\iff m^2=\frac{10}{9}\iff m=\pm \frac{\sqrt{10}}{3}$
Abbiamo ottenuto due rette tangenti:
$r_1: y=\frac{\sqrt{10}}{3}x+1$
$r_2: y= -\frac{\sqrt{10}}{3}x+1$
Fin qui torna tutto ?
Risposta di Ifrit
si grazie mi sembra di si
Risposta di tappo
Mettiamo a sistema una delle due rette con l'equazione dell'iperbole:
$\begin{cases}y= \frac{\sqrt{10}}{3}x+1\\ x^2-y^2=9\end{cases}$
procedendo per sostituzione:
$x^2-\left(\frac{\sqrt{10}}{3}x+1\right)^2-9=0$
Scriviamo l'equazione in forma canonica:
$\frac{-90-6\sqrt{10}x-x^2}{9}=0$
La soluzione è:
$x= -3\sqrt{10}$
Abbiamo trovato il primo punto di tangenza:
$A=\left(-3\sqrt{10}, 9\right)$
Procedendo in questo modo anche per l'altra retta otterremo il punto:
$B=(3\sqrt{10}, 9)$
A questo punto possiamo calcolare l'area del triangolo di vertici A, B e C.
Per base consideriamo il segmento A B che ha lunghezza:
$AB= |x_A-x_B|= |-3\sqrt{10}-3\sqrt{10}|= 6\sqrt{10}$
Calcoliamo il punto medio del lato AB:
$x_M= \frac{x_A+x_B }{2}=0$
$y_M= \frac{y_A+y_B}{2}= \frac{9+9}{2}= 9$
Quindi:
Calcoliamo la distanza tra i due punti P e M:
A questo punto possiamo calcolare l'area:
$A= \frac{b\times h}{2}= \frac{6\sqrt{10}\times 8}{2}=24\sqrt{10}$
Risposta di Ifrit