Equazione di un'iperbole equilatera e rette tangenti

Buongiorno, come faccio a risolvere questo problema sull'iperbole equilatera? Grazie!

Dopo aver scritto l’equazione dell’iperbole equilatera riferita agli assi avente un fuoco in F(3rad2;0) , determina le equazioni delle rette ad essa tangenti condotte dal punto P(0;1). Calcola poi l’area del triangolo PAB dove A e B sono i punti di tangenza.

Domanda di tappo

Soluzioni

Tieni a portata di mano il formulario sull'iperbole equilatera.
L'equazione dell'iperbole equilatera riferita ai propri assi è:
Sappiamo che il fuoco ha coordinate:
Poiché sappiamo che le coordinate generiche del fuoco sono:
Imponendo l'uguaglianza con 3 sqrt(2) otteniamo:
L'equazione dell'iperbole è quindi:
Consideriamo ora le rette tangenti che passano per il punto P(0, 1).
Determiniamo il fascio di rette passanti per il punto (0, 1):
Da cui
Impostiamo il sistema tra il fascio e l'iperbole:
L'equazione di secondo grado risolvente sarà:
Da cui
Calcoliamo il discriminante associato:
Imponiamo la condizione di tangenza:
Abbiamo ottenuto due rette tangenti:
Fin qui torna tutto ?
Risposta di Ifrit
si grazie mi sembra di si
Risposta di tappo
Mettiamo a sistema una delle due rette con l'equazione dell'iperbole:
procedendo per sostituzione:
Scriviamo l'equazione in forma canonica:
La soluzione è:
Abbiamo trovato il primo punto di tangenza:
Procedendo in questo modo anche per l'altra retta otterremo il punto:
A questo punto possiamo calcolare l'area del triangolo di vertici A, B e C.
Per base consideriamo il segmento A B che ha lunghezza:
Calcoliamo il punto medio del lato AB:
Quindi:
Calcoliamo la distanza tra i due punti P e M:
A questo punto possiamo calcolare l'area:
Risposta di Ifrit