Soluzioni
  • Tieni a portata di mano il formulario sull'iperbole equilatera.

    L'equazione dell'iperbole equilatera riferita ai propri assi è:

    (x^2)/(a^2)-(y^2)/(a^2) = 1

    Sappiamo che il fuoco ha coordinate:

    F(3√(2), 0)

    Poiché sappiamo che le coordinate generiche del fuoco sono:

    F(±a√(2), 0)

    Imponendo l'uguaglianza con 3 sqrt(2) otteniamo:

    a√(2) = 3√(2) ⇒ a = 3 ⇒ a^2 = 9

    L'equazione dell'iperbole è quindi:

    (x^2)/(9)-(y^2)/(9) = 1 ⇔ x^2-y^2 = 9

    Consideriamo ora le rette tangenti che passano per il punto P(0, 1).

    Determiniamo il fascio di rette passanti per il punto (0, 1):

    y-1 = mx

    Da cui

    y = mx+1

    Impostiamo il sistema tra il fascio e l'iperbole:

    x^2-y^2 = 9 ; y = mx+1

    L'equazione di secondo grado risolvente sarà:

    x^2-(mx+1)^2 = 9

    Da cui

    (1-m^2)x^2-2mx-10 = 0

    Calcoliamo il discriminante associato:

    Δ = 4m^2-4·(-10)(1-m^2) = 40-36m^2 ⇔ 4(10-9m^2)

    Imponiamo la condizione di tangenza:

    Δ = 0 ⇔ 10-9m^2 = 0 ⇔ m^2 = (10)/(9) ⇔ m = ±(√(10))/(3)

    Abbiamo ottenuto due rette tangenti:

    r_1: y = (√(10))/(3)x+1

    r_2: y = -(√(10))/(3)x+1

    Fin qui torna tutto ?

    Risposta di Ifrit
  • si grazie mi sembra di si

    Risposta di tappo
  • Mettiamo a sistema una delle due rette con l'equazione dell'iperbole:

    y = (√(10))/(3)x+1 ; x^2-y^2 = 9

    procedendo per sostituzione:

    x^2-((√(10))/(3)x+1)^2-9 = 0

    Scriviamo l'equazione in forma canonica:

    (-90-6√(10)x-x^2)/(9) = 0

    La soluzione è:

    x = -3√(10)

    Abbiamo trovato il primo punto di tangenza:

    A = (-3√(10), 9)

    Procedendo in questo modo anche per l'altra retta otterremo il punto:

    B = (3√(10), 9)

    A questo punto possiamo calcolare l'area del triangolo di vertici A, B e C.

    Per base consideriamo il segmento A B che ha lunghezza:

    AB = |x_A-x_B| = |-3√(10)-3√(10)| = 6√(10)

    Calcoliamo il punto medio del lato AB:

    x_M = (x_A+x_B)/(2) = 0

    y_M = (y_A+y_B)/(2) = (9+9)/(2) = 9

    Quindi:

    M = (0, 9)

    Calcoliamo la distanza tra i due punti P e M:

    h = PM = |y_P-y_M| = |9-1| = 8

    A questo punto possiamo calcolare l'area:

    A = (b×h)/(2) = (6√(10)×8)/(2) = 24√(10)

    Risposta di Ifrit
 
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