Soluzioni
  • Tieni a portata di mano il formulario sull'iperbole equilatera.

    L'equazione dell'iperbole equilatera riferita ai propri assi è:

    \frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{a^2}= 1

    Sappiamo che il fuoco ha coordinate:

    F\left(3\sqrt{2}, 0\right)

    Poiché sappiamo che le coordinate generiche del fuoco sono:

    F(\pm a\sqrt{2}, 0)

    Imponendo l'uguaglianza con 3 sqrt(2) otteniamo:

    a\sqrt{2}= 3\sqrt{2}\implies a= 3\implies a^2= 9

    L'equazione dell'iperbole è quindi:

    \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{9}=1\iff x^2-y^2= 9

    Consideriamo ora le rette tangenti che passano per il punto P(0, 1).

    Determiniamo il fascio di rette passanti per il punto (0, 1):

    y-1=mx

    Da cui

    y= mx+1

    Impostiamo il sistema tra il fascio e l'iperbole:

    \begin{cases}x^2-y^2=9\\ y=mx+1\end{cases}

    L'equazione di secondo grado risolvente sarà:

    x^2-(mx+1)^2=9

    Da cui

    (1-m^2)x^2-2mx-10=0

    Calcoliamo il discriminante associato:

    \Delta= 4m^2- 4\cdot(-10)(1-m^2)=40-36m^2\iff 4(10-9m^2)

    Imponiamo la condizione di tangenza:

    \Delta=0\iff 10-9m^2=0\iff m^2=\frac{10}{9}\iff m=\pm \frac{\sqrt{10}}{3}

    Abbiamo ottenuto due rette tangenti:

    r_1: y=\frac{\sqrt{10}}{3}x+1

    r_2: y= -\frac{\sqrt{10}}{3}x+1

    Fin qui torna tutto ?

    Risposta di Ifrit
  • si grazie mi sembra di si

    Risposta di tappo
  • Mettiamo a sistema una delle due rette con l'equazione dell'iperbole:

    \begin{cases}y= \frac{\sqrt{10}}{3}x+1\\ x^2-y^2=9\end{cases}

    procedendo per sostituzione:

    x^2-\left(\frac{\sqrt{10}}{3}x+1\right)^2-9=0

    Scriviamo l'equazione in forma canonica:

    \frac{-90-6\sqrt{10}x-x^2}{9}=0

    La soluzione è:

    x= -3\sqrt{10}

    Abbiamo trovato il primo punto di tangenza:

    A=\left(-3\sqrt{10}, 9\right)

    Procedendo in questo modo anche per l'altra retta otterremo il punto:

    B=(3\sqrt{10}, 9)

    A questo punto possiamo calcolare l'area del triangolo di vertici A, B e C.

    Per base consideriamo il segmento A B che ha lunghezza:

    AB= |x_A-x_B|= |-3\sqrt{10}-3\sqrt{10}|= 6\sqrt{10}

    Calcoliamo il punto medio del lato AB:

    x_M= \frac{x_A+x_B }{2}=0

    y_M= \frac{y_A+y_B}{2}= \frac{9+9}{2}= 9

    Quindi:

    M=(0, 9)

    Calcoliamo la distanza tra i due punti P e M:

    h=PM=|y_P-y_M|= |9-1|=8

    A questo punto possiamo calcolare l'area:

    A= \frac{b\times h}{2}= \frac{6\sqrt{10}\times 8}{2}=24\sqrt{10}

    Risposta di Ifrit
 
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