Soluzioni
  • Ciao depe_  arrivo :D

    Risposta di Ifrit
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    Risposta di depe_
  • Per prima cosa, costruiamo il fascio di rette passanti per il punto P:

    y-y_0=m (x-x_0)

    dove:

    x_0= \frac{3}{2}

    mentre 

    y_0=-2

    Otteniamo quindi:

    y+2=m \left(x-\frac{3}{2}\right)\iff y= m\left(x-\frac{3}{2}\right)-2

    Impostiamo il sistema:

    \begin{cases}y=m\left(x-\frac{3}{2}\right)-2\\y=\frac{1}{4}x^2-1\end{cases}

    procediamo per sostituzione:

    \frac{1}{4}x^2-1= m\left(x-\frac{3}{2}\right)-2

    Portando al primo membro, otterremo:

    \frac{1}{4}(x^2-4m x+ 2(2+3m))=0\iff x^2-4m x+2(2+3m)=0

    Calcoliamo il discriminante dell'equazione di secondo grado e imponiamo che esso sia nullo:

    \Delta= 16m^2- 16-24m=0\iff 8(2m^2-3m-2)=0\iff 2m^2-3m-2

    Risolviamo l'equazione, otterremo due soluzioni:

    m_1=-\frac{1}{2}

    per il quale abbiamo l'equazione della retta:

    r_1: y=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{3}{2}\right)-2\iff y= \frac{-5-2x}{4}

    m_2=2

    A cui associamo l'equazione:

    y= 2\left(x-\frac{3}{2}\right)-2\iff y=2x-5

    Per determinare i punti di tangenza, imponiamo il sistema tra ciascuna delle due rette con la parabola (clicca qui per il formulario con tutte le formule della parabola):

    \begin{cases}y=\frac{1}{4}x^2-1\\y=2x-5\end{cases}

    l'equazione diventa:

    \frac{1}{4}x^2-1= 2x-5

    Da cui moltiplicando per 4:

    x^2-4= 8x-20

    Portiamo al primo membro e somma i termini simili:

    x^2-8x+16=0

    La cui soluzione è:

    x=4

     

    Il primo punto è 

    A(4, 3)

    Impostiamo il sistema con l'altra retta:

    \begin{cases}y=\frac{1}{4}x^2-1\\y= \frac{-5-2x}{4}\end{cases}

    l'equazione diventa:

    \frac{1}{4}x^2-1= \frac{-5-2x}{4}

    Da cui moltiplicando per 4:

    x^2-4= -5-2x

    Portiamo al primo membro e somma i termini simili:

    x^2+2x+1=0

    La cui soluzione è:

    x=-1

    Il punto di intersezione è:

    B=\left(-1,-\frac{3}{4} \right)

    Calcoliamo la distanza tra i due punti A e B:

    AB=\sqrt{\left(-1-4\right)^2+\left(3+\frac{3}{4}\right)^2}=\sqrt{25+\frac{225}{16}}= \frac{25}{4}

    Risposta di Ifrit
 
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