Soluzioni
  • Il nostro compito consiste nello svolgere la seguente espressione con le frazioni algebriche

    \left[\frac{b^2+1}{1-3b+3b^2-b^3}+\frac{1}{b-1}\right]\cdot(b^2-2b+1)

    ma prima di iniziare con i calcoli, tentiamo di scomporre i polinomi che la compongono in fattori irriducibili. Analizziamoli uno ad uno iniziando dal numeratore della prima frazione.

    Il binomio di secondo grado b^2+1 è somma di due quadrati, uno dei quali (1) è positivo: proprio perché è di secondo grado non è possibile scomporlo ulteriormente.

    Il polinomio

    1-3b+3b^2-b^3

    non è altro che lo sviluppo del cubo del binomio (1-b), infatti: 1 è il cubo di se stesso; -3b è il triplo prodotto tra 1^2\ \mbox{e} \ -b; 3b^2 è il triplo prodotto tra 1\ \mbox{e} \ (-b)^2 e infine -b^3 è il cubo di -b.

    Alla luce di questa osservazione, siamo autorizzati a scrivere la seguente uguaglianza

    1-3b+3b^2-b^3=(1-b)^3=-(b-1)^3

    Per quanto riguarda il denominatore b-1, esso è già irriducibile perché è di primo grado, quindi andiamo oltre!

    Il trinomio b^2-2b+1 è lo sviluppo del quadrato di un binomio(b-1)^2, infatti: b^2 è il quadrato di b, 1 è il quadrato di -1 e -2b è il doppio prodotto tra b\ \mbox{e} \ -1, quindi:

    b^2-2b+1=(b-1)^2

    Prima di ritornare all'espressione, bisogna imporre le condizioni di esistenza pretendendo che ciascun fattore che compone i vari denominatori sia diverso da zero.

    Per la non nullità di 1-3b+3b^2-b^3, richiediamo che:

    -(b-1)^3\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ b-1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ b\ne 1

    Per la non nullità di b-1, basta impostare la relazione:

    b-1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ b\ne 1

    In definitiva, l'espressione è ben posta se è soddisfatta la condizione

    C.E. :\ b\ne 1

    Riprendiamo la risoluzione dell'espressione

    \left[\frac{b^2+1}{1-3b+3b^2-b^3}+\frac{1}{b-1}\right]\cdot(b^2-2b+1)=

    sostituendo a ciascun polinomio la relativa scomposizione

    =\left[\frac{b^2+1}{-(b-1)^3}+\frac{1}{b-1}\right]\cdot(b-1)^2=

    A questo punto occupiamoci della somma tra le frazioni algebriche interne alle parentesi quadre, non prima di aver calcolato il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore

    =\left[\frac{-b^2-1+(b-1)^2}{(b-1)^3}\right]\cdot(b-1)^2=

    Sviluppiamo il quadrato di b-1 al numeratore, sommiamo in seguito i monomi simili

    \\ =\left[\frac{-b^2-1+b^2-2b+1}{(b-1)^3}\right]\cdot(b-1)^2= \\ \\ \\ =\frac{-2b}{(b-1)^3}\cdot(b-1)^2=

    e infine semplifichiamo (b-1)^2\ \mbox{e} \ (b-1)^3 usando a dovere la proprietà sul quoziente di due potenze con la stessa base

    =\frac{-2b}{b-1}

    Finalmente abbiamo ottenuto la frazione algebrica equivalente all'espressione iniziale a patto che b\ne 1.

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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