Soluzioni
  • Ciao Panzerotta. :)

    Abbiamo il fascio proprio di rette di equazione

    (1+k)x + (1+2k)y - 1=0

    ed i punti P \mbox{ e } Q di coordinate cartesiane

    P(-3, 7) \ \  Q(1,1)

    Procediamo con ordine; riporterò, di volta in volta, la richiesta del problema.

    - Per quale valore di k una retta del fascio e la retta per P e Q staccano sulla retta y=1 un segmento che misura 3?

    Utilizzando l'equazione della retta per due punti scriviamo l'equazione della retta r per i punti P \mbox{ e } Q che è data da

    r: \ \frac{x-x_P}{x_Q-x_P}=\frac{y-y_P}{y_Q-y_P} \iff \frac{x+3}{1+3}=\frac{y-7}{1-7} \iff \frac{x+3}{4}=\frac{y-7}{-6}

    Facendo qualche conticino possiamo scrivere l'equazione della retta come

    3x+2y-5=0

    Intersechiamo tale retta con la retta di equazione y=1, ossia risolviamo il sistema lineare

    \begin{cases}3x+2y-5=0 \\ y=1 \end{cases}

    Procedendo con il metodo di sostituzione per la risoluzione di un sistema lineare ritroviamo il punto

    Q\left(1,1\right)

    Intersechiamo ora il fascio di rette con la retta y=1

    \begin{cases}(1+k)x+(1+2k)y-1=0 \\ y=1 \end{cases}

    Procedendo sempre con il metodo di sostituzione troviamo il punto

    B\left(-\frac{2k}{1+k},1\right)

    Imponiamo ora che la distanza tra i due punti Q \mbox{ e } B sia uguale a 3. Poiché i due punti hanno la stessa ordinata possiamo imporre che sia

    |x_Q-x_B|=3 \iff \left|1+\frac{2k}{1+k}\right|=3

    Quella appena scritta è un'equazione con valore assoluto nell'incognita k che ha come soluzione k=-\frac{2}{3} e questo è il valore del parametro che stavamo cercando.

     

    - Scrivi la retta del fascio che incontra l'asse x nel punto di ascissa 2.

    Dal momento che l'asse x ha equazione y=0 intersechiamo il fascio con tale retta

    \begin{cases}(1+k)x+(1+2k)y-1=0 \\ y=0 \end{cases}

    trovando così il punto

    C\left(\frac{1}{1+k},0\right)

    Tale punto ha ascissa 2 se e solo se

    \frac{1}{1+k}=2

    Siamo di fronte ad un'equazione fratta nell'incognita k che ha come soluzione

    k=-\frac{1}{2}

    Fine. :)

    Risposta di Galois
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