Soluzioni
  • Proponiamoci come obiettivo quello di risolvere l'equazione fratta di secondo grado

    ((1)/(2x+√(2))+(1)/(2x-√(2)))/(((3x)/(2x^2-1))(1-(1)/(x))) = (x)/(x+1)+(3)/(2x-2)

    Per prima cosa dobbiamo imporre le condizioni di esistenza richiedendo che tutti i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero. Attenzione, proprio perché è presente una frazione di frazioni, dobbiamo pretendere che anche il denominatore principale sia non nullo.

     2x+√(2) ne 0 → x ne-(√(2))/(2) ; 2x-√(2) ne 0 → x ne(√(2))/(2)

    Questi erano abbastanza semplici da risolvere. Richiede qualche passaggio in più lo studio della non nullità del denominatore principale, vale a dire:

    ((3x)/(2x^2-1))(1-(1)/(x)) ne 0

    In virtù della legge di annullamento del prodotto, il primo membro è non nullo se e solo se sono diversi da zero i fattori che lo compongono. Otteniamo pertanto le due disuguaglianze:

    (3x)/(2x^2-1) ne 0 ; 1-(1)/(x) ne 0

    Studiamo la prima, richiedendo che il denominatore sia non nullo e risolvendo la disuguaglianza trattandola alla stregua di un'equazione pura

    2x^2-1 ne 0 → 2x^2 ne 1 → x^2 ne (1)/(2)

    da cui, sfruttando le proprietà dei radicali

    x ne±√((1)/(2)) → x ne±(1)/(√(2))

    Razionalizziamo il denominatore moltiplicando e dividendo la frazione a secondo membro per √(2), così che l'ultima relazione diventi

    x ne±(√(2))/(2)

    Avendo imposto le condizioni di esistenza relative alla disuguaglianza

    (3x)/(2x^2-1) ne 0

    siamo autorizzati a eliminare il denominatore, ottenendo

    3x ne 0 → x ne 0

    Occupiamoci a questo punto della disuguaglianza

    1-(1)/(x) ne 0 → (x-1)/(x) ne 0

    e osserviamo che per x ne 0, il denominatore sparisce ricavando così la disuguaglianza

    x-1 ne 0 → x ne 1

    È giunto il momento di studiare la non nullità dei denominatori presenti al secondo membro dell'equazione fratta che fortunatamente sono semplici da risolvere:

     x+1 ne0 → x ne-1 ; 2x-2 ne0 → 2x ne 2 → x ne 1

    Finalmente siamo in grado di esplicitare le condizioni che definiscono l'insieme di esistenza

    C.E.: x±(√(2))/(2) ∧ x ne 0 ∧ x ne±1

    dove ∧ è il connettivo logico "e".

    Una volta determinate i vincoli sotto i quali l'equazione ha senso, possiamo iniziare a svolgere i passaggi algebrici che consentono di esprimere l'equazione fratta in forma normale.

    Innanzitutto svolgiamo le operazioni presenti nella frazione di frazioni

    ((2x-√(2)+2x+√(2))/((2x+√(2))(2x-√(2))))/((3x)/(2x^2-1)·(x-1)/(x)) = (x)/(x+1)+(3)/(2x-2)

    da cui, semplificando x al denominatore principale e sommando tra loro i termini simili al numeratore:

     ((4x)/((2x+√(2))(2x-√(2))))/((3)/(2x^2-1)·(x-1)/(1)) = (x)/(x+1)+(3)/(2x-2) ; ((4x)/((2x+√(2))(2x-√(2))))/((3(x-1))/(2x^2-1)) = (x)/(x+1)+(3)/(2x-2)

    Sfruttiamo la regola sul prodotto di una somma per una differenza

    ((4x)/(4x^2-2))/((3(x-1))/(2x^2-1)) = (x)/(x+1)+(3)/(2x-2)

    e raccogliamo il fattore comune 2 al numeratore del numeratore principale

    ((4x)/(2(2x^2-1)))/((3(x-1))/(2x^2-1)) = (x)/(x+1)+(3)/(2x-2)

    Ora scriviamo la frazione di frazioni in forma normale, moltiplicando il numeratore principale per il reciproco del denominatore principale

    (4x)/(2(2x^2-1))·(2x^2-1)/(3(x-1)) = (x)/(x+1)+(3)/(2x-2)

    Semplifichiamo 2 e a croce 2x^2-1

    (2x)/(1)·(1)/(3(x-1)) = (x)/(x+1)+(3)/(2x-2)

    e calcoliamo il prodotto

    (2x)/(3(x-1)) = (x)/(x+1)+(3)/(2x-2)

    Finalmente abbiamo fatto sparire il castello di frazioni! Da qui in poi, l'equazione diventa molto più semplice da studiare: l'obiettivo è sempre quello di esprimere l'equazione in forma normale, o detto in maniera più esplicita, dobbiamo fare in modo che al secondo membro compaia zero, mentre il primo dev'essere espresso mediante un'unica frazione

    Trasportiamo tutti i termini al primo membro, prestando la massima attenzione ai segni

    (2x)/(3(x-1))-(x)/(x+1)-(3)/(2(x-1)) = 0

    Calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore

    (2x·2(x+1)-6x(x-1)-3·3 (x+1))/(6(x-1)(x+1)) = 0

    e sotto i vincoli del C.E. moltiplichiamo i due membri per il denominatore comune, ricavando così l'equazione equivalente

    2x·2(x+1)-6x(x-1)-3·3 (x+1) = 0

    Non ci resta che eseguire i prodotti

    4x^2+4x+6x-6x^2-9-9x = 0

    sommare tra loro i monomi simili e ordinare i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita

    -2x^2+x-9 = 0

    Ci siamo finalmente ricondotti a un'equazione di secondo grado, i cui coefficienti valgono rispettivamente

    a = -2 ; b = 1 ; c = -9

    Per analizzare l'equazione, sfruttiamo la formula del discriminante

    Δ = b^2-4ac = 1^2-4·(-2)·(-9) = -71

    Proprio perché il delta è negativo, possiamo affermare che l'equazione di secondo grado non ammette soluzioni reali ed è dunque impossibile.

    Conseguentemente anche l'equazione fratta è impossibile e dunque il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto:

    S = Ø

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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