Esercizio su equazione di secondo grado fratta con radicali

Avrei bisogno di una mano per risolvere un'equazione fratta di secondo grado in cui compaiono una frazione di frazioni e dei coefficienti irrazionali. Quali sono i passaggi per ricondurla in forma normale? E quali condizioni di esistenza bisogna imporre?

Esplicitare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione fratta di secondo grado

$\frac{\frac{1}{2x+\sqrt{2}}+\frac{1}{2x-\sqrt{2}}}{\left(\frac{3x}{2x^2-1}\right)\left(1-\frac{1}{x}\right)}=\frac{x}{x+1}+\frac{3}{2x-2}$

Grazie.

Domanda di marklycons

Soluzioni

Proponiamoci come obiettivo quello di risolvere l'equazione fratta di secondo grado
$\frac{\frac{1}{2x+\sqrt{2}}+\frac{1}{2x-\sqrt{2}}}{\left(\frac{3x}{2x^2-1}\right)\left(1-\frac{1}{x}\right)}=\frac{x}{x+1}+\frac{3}{2x-2}$
Per prima cosa dobbiamo imporre le condizioni di esistenza richiedendo che tutti i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero. Attenzione, proprio perché è presente una frazione di frazioni, dobbiamo pretendere che anche il denominatore principale sia non nullo.
$\\ 2x+\sqrt{2}\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ 2x-\sqrt{2}\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne\frac{\sqrt{2}}{2}$
Questi erano abbastanza semplici da risolvere. Richiede qualche passaggio in più lo studio della non nullità del denominatore principale, vale a dire:
$\left(\frac{3x}{2x^2-1}\right)\left(1-\frac{1}{x}\right)\ne 0$
In virtù della legge di annullamento del prodotto, il primo membro è non nullo se e solo se sono diversi da zero i fattori che lo compongono. Otteniamo pertanto le due disuguaglianze:
$\frac{3x}{2x^2-1}\ne 0 \ \ \ ; \ \ \ 1-\frac{1}{x}\ne 0$
Studiamo la prima, richiedendo che il denominatore sia non nullo e risolvendo la disuguaglianza trattandola alla stregua di un'equazione pura
$2x^2-1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ 2x^2\ne 1 \ \ \ \to \ \ \ x^2\ne \frac{1}{2}$
da cui, sfruttando le proprietà dei radicali
$x\ne \pm\sqrt{\frac{1}{2}} \ \ \ \to \ \ \ x\ne\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$
Razionalizziamo il denominatore moltiplicando e dividendo la frazione a secondo membro per $\sqrt{2}$ , così che l'ultima relazione diventi
$x\ne\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
Avendo imposto le condizioni di esistenza relative alla disuguaglianza
$\frac{3x}{2x^2-1}\ne 0$
siamo autorizzati a eliminare il denominatore, ottenendo
$3x\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 0$
Occupiamoci a questo punto della disuguaglianza
$1-\frac{1}{x}\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ \frac{x-1}{x}\ne 0$
e osserviamo che per $x\ne 0$ , il denominatore sparisce ricavando così la disuguaglianza
$x-1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 1$
È giunto il momento di studiare la non nullità dei denominatori presenti al secondo membro dell'equazione fratta che fortunatamente sono semplici da risolvere:
$\\ x+1\ne0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -1 \\ \\ 2x-2\ne0 \ \ \ \to \ \ \ 2x\ne 2 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 1$
Finalmente siamo in grado di esplicitare le condizioni che definiscono l'insieme di esistenza
$C.E.:\ x\pm\frac{\sqrt{2}}{2} \ \wedge \ x\ne 0 \ \wedge \ x\ne \pm 1$
dove $\wedge$ è il connettivo logico "e".
Una volta determinate i vincoli sotto i quali l'equazione ha senso, possiamo iniziare a svolgere i passaggi algebrici che consentono di esprimere l'equazione fratta in forma normale.
Innanzitutto svolgiamo le operazioni presenti nella frazione di frazioni
$\frac{\frac{2x-\sqrt{2}+2x+\sqrt{2}}{(2x+\sqrt{2})(2x-\sqrt{2})}}{\frac{3x}{2x^2-1}\cdot\frac{x-1}{x}}=\frac{x}{x+1}+\frac{3}{2x-2}$
da cui, semplificando al denominatore principale e sommando tra loro i termini simili al numeratore:
$\\ \frac{\frac{4x}{(2x+\sqrt{2})(2x-\sqrt{2})}}{\frac{3}{2x^2-1}\cdot\frac{x-1}{1}}=\frac{x}{x+1}+\frac{3}{2x-2} \\ \\ \\ \frac{\frac{4x}{(2x+\sqrt{2})(2x-\sqrt{2})}}{\frac{3(x-1)}{2x^2-1}}=\frac{x}{x+1}+\frac{3}{2x-2}$
Sfruttiamo la regola sul prodotto di una somma per una differenza
$\frac{\frac{4x}{4x^2-2}}{\frac{3(x-1)}{2x^2-1}}=\frac{x}{x+1}+\frac{3}{2x-2}$
e raccogliamo il fattore comune 2 al numeratore del numeratore principale
$\frac{\frac{4x}{2(2x^2-1)}}{\frac{3(x-1)}{2x^2-1}}=\frac{x}{x+1}+\frac{3}{2x-2}$
Ora scriviamo la frazione di frazioni in forma normale, moltiplicando il numeratore principale per il reciproco del denominatore principale
$\frac{4x}{2(2x^2-1)}\cdot\frac{2x^2-1}{3(x-1)}=\frac{x}{x+1}+\frac{3}{2x-2}$
Semplifichiamo 2 e a croce
$\frac{2x}{1}\cdot\frac{1}{3(x-1)}=\frac{x}{x+1}+\frac{3}{2x-2}$
e calcoliamo il prodotto
$\frac{2x}{3(x-1)}=\frac{x}{x+1}+\frac{3}{2x-2}$
Finalmente abbiamo fatto sparire il castello di frazioni! Da qui in poi, l'equazione diventa molto più semplice da studiare: l'obiettivo è sempre quello di esprimere l'equazione in forma normale, o detto in maniera più esplicita, dobbiamo fare in modo che al secondo membro compaia zero, mentre il primo dev'essere espresso mediante un'unica frazione
Trasportiamo tutti i termini al primo membro, prestando la massima attenzione ai segni
$\frac{2x}{3(x-1)}-\frac{x}{x+1}-\frac{3}{2(x-1)}=0$
Calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore
$\frac{2x\cdot 2(x+1)-6x(x-1)-3\cdot 3 (x+1)}{6(x-1)(x+1)}=0$
e sotto i vincoli del moltiplichiamo i due membri per il denominatore comune, ricavando così l'equazione equivalente
$2x\cdot 2(x+1)-6x(x-1)-3\cdot 3 (x+1)=0$
Non ci resta che eseguire i prodotti
sommare tra loro i monomi simili e ordinare i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita
Ci siamo finalmente ricondotti a un'equazione di secondo grado, i cui coefficienti valgono rispettivamente
$a=-2 \ \ \ ; \ \ \ b=1 \ \ \ ; \ \ \ c=-9$
Per analizzare l'equazione, sfruttiamo la formula del discriminante
$\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot(-2)\cdot(-9)=-71$
Proprio perché il delta è negativo, possiamo affermare che l'equazione di secondo grado non ammette soluzioni reali ed è dunque impossibile.
Conseguentemente anche l'equazione fratta è impossibile e dunque il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto:
$S=\emptyset$
Abbiamo terminato.
Risposta di Ifrit