Esercizio su equazione di secondo grado fratta con radicali

Proponiamoci come obiettivo quello di risolvere l'equazione fratta di secondo grado

Per prima cosa dobbiamo imporre le condizioni di esistenza richiedendo che tutti i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero. Attenzione, proprio perché è presente una frazione di frazioni, dobbiamo pretendere che anche il denominatore principale sia non nullo.

Questi erano abbastanza semplici da risolvere. Richiede qualche passaggio in più lo studio della non nullità del denominatore principale, vale a dire:

In virtù della legge di annullamento del prodotto, il primo membro è non nullo se e solo se sono diversi da zero i fattori che lo compongono. Otteniamo pertanto le due disuguaglianze:

Studiamo la prima, richiedendo che il denominatore sia non nullo e risolvendo la disuguaglianza trattandola alla stregua di un'equazione pura

da cui, sfruttando le proprietà dei radicali

Razionalizziamo il denominatore moltiplicando e dividendo la frazione a secondo membro per , così che l'ultima relazione diventi

Avendo imposto le condizioni di esistenza relative alla disuguaglianza

siamo autorizzati a eliminare il denominatore, ottenendo

Occupiamoci a questo punto della disuguaglianza

e osserviamo che per , il denominatore sparisce ricavando così la disuguaglianza

È giunto il momento di studiare la non nullità dei denominatori presenti al secondo membro dell'equazione fratta che fortunatamente sono semplici da risolvere:

Finalmente siamo in grado di esplicitare le condizioni che definiscono l'insieme di esistenza

dove è il connettivo logico "e".

Una volta determinate i vincoli sotto i quali l'equazione ha senso, possiamo iniziare a svolgere i passaggi algebrici che consentono di esprimere l'equazione fratta in forma normale.

Innanzitutto svolgiamo le operazioni presenti nella frazione di frazioni

da cui, semplificando al denominatore principale e sommando tra loro i termini simili al numeratore:

Sfruttiamo la regola sul prodotto di una somma per una differenza

e raccogliamo il fattore comune 2 al numeratore del numeratore principale

Ora scriviamo la frazione di frazioni in forma normale, moltiplicando il numeratore principale per il reciproco del denominatore principale

Semplifichiamo 2 e a croce

e calcoliamo il prodotto

Finalmente abbiamo fatto sparire il castello di frazioni! Da qui in poi, l'equazione diventa molto più semplice da studiare: l'obiettivo è sempre quello di esprimere l'equazione in forma normale, o detto in maniera più esplicita, dobbiamo fare in modo che al secondo membro compaia zero, mentre il primo dev'essere espresso mediante un'unica frazione

Trasportiamo tutti i termini al primo membro, prestando la massima attenzione ai segni

Calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore

e sotto i vincoli del moltiplichiamo i due membri per il denominatore comune, ricavando così l'equazione equivalente

Non ci resta che eseguire i prodotti

sommare tra loro i monomi simili e ordinare i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita

Ci siamo finalmente ricondotti a un'equazione di secondo grado, i cui coefficienti valgono rispettivamente

Per analizzare l'equazione, sfruttiamo la formula del discriminante

Proprio perché il delta è negativo, possiamo affermare che l'equazione di secondo grado non ammette soluzioni reali ed è dunque impossibile.

Conseguentemente anche l'equazione fratta è impossibile e dunque il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto:

Abbiamo terminato.