Soluzioni
  • Proponiamoci come obiettivo quello di risolvere l'equazione fratta di secondo grado

    \frac{\frac{1}{2x+\sqrt{2}}+\frac{1}{2x-\sqrt{2}}}{\left(\frac{3x}{2x^2-1}\right)\left(1-\frac{1}{x}\right)}=\frac{x}{x+1}+\frac{3}{2x-2}

    Per prima cosa dobbiamo imporre le condizioni di esistenza richiedendo che tutti i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero. Attenzione, proprio perché è presente una frazione di frazioni, dobbiamo pretendere che anche il denominatore principale sia non nullo.

    \\ 2x+\sqrt{2}\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ 2x-\sqrt{2}\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne\frac{\sqrt{2}}{2}

    Questi erano abbastanza semplici da risolvere. Richiede qualche passaggio in più lo studio della non nullità del denominatore principale, vale a dire:

    \left(\frac{3x}{2x^2-1}\right)\left(1-\frac{1}{x}\right)\ne 0

    In virtù della legge di annullamento del prodotto, il primo membro è non nullo se e solo se sono diversi da zero i fattori che lo compongono. Otteniamo pertanto le due disuguaglianze:

    \frac{3x}{2x^2-1}\ne 0 \ \ \ ; \ \ \ 1-\frac{1}{x}\ne 0

    Studiamo la prima, richiedendo che il denominatore sia non nullo e risolvendo la disuguaglianza trattandola alla stregua di un'equazione pura

    2x^2-1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ 2x^2\ne 1 \ \ \ \to \ \ \ x^2\ne \frac{1}{2}

    da cui, sfruttando le proprietà dei radicali

    x\ne \pm\sqrt{\frac{1}{2}} \ \ \ \to \ \ \ x\ne\pm\frac{1}{\sqrt{2}}

    Razionalizziamo il denominatore moltiplicando e dividendo la frazione a secondo membro per \sqrt{2}, così che l'ultima relazione diventi

    x\ne\pm\frac{\sqrt{2}}{2}

    Avendo imposto le condizioni di esistenza relative alla disuguaglianza

    \frac{3x}{2x^2-1}\ne 0

    siamo autorizzati a eliminare il denominatore, ottenendo

    3x\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 0

    Occupiamoci a questo punto della disuguaglianza

    1-\frac{1}{x}\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ \frac{x-1}{x}\ne 0

    e osserviamo che per x\ne 0, il denominatore sparisce ricavando così la disuguaglianza

    x-1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 1

    È giunto il momento di studiare la non nullità dei denominatori presenti al secondo membro dell'equazione fratta che fortunatamente sono semplici da risolvere:

    \\ x+1\ne0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -1 \\ \\ 2x-2\ne0 \ \ \ \to \ \ \ 2x\ne 2 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 1

    Finalmente siamo in grado di esplicitare le condizioni che definiscono l'insieme di esistenza

    C.E.:\ x\pm\frac{\sqrt{2}}{2} \ \wedge \ x\ne 0 \ \wedge \ x\ne \pm 1

    dove \wedge è il connettivo logico "e".

    Una volta determinate i vincoli sotto i quali l'equazione ha senso, possiamo iniziare a svolgere i passaggi algebrici che consentono di esprimere l'equazione fratta in forma normale.

    Innanzitutto svolgiamo le operazioni presenti nella frazione di frazioni

    \frac{\frac{2x-\sqrt{2}+2x+\sqrt{2}}{(2x+\sqrt{2})(2x-\sqrt{2})}}{\frac{3x}{2x^2-1}\cdot\frac{x-1}{x}}=\frac{x}{x+1}+\frac{3}{2x-2}

    da cui, semplificando x al denominatore principale e sommando tra loro i termini simili al numeratore:

    \\ \frac{\frac{4x}{(2x+\sqrt{2})(2x-\sqrt{2})}}{\frac{3}{2x^2-1}\cdot\frac{x-1}{1}}=\frac{x}{x+1}+\frac{3}{2x-2} \\ \\ \\ \frac{\frac{4x}{(2x+\sqrt{2})(2x-\sqrt{2})}}{\frac{3(x-1)}{2x^2-1}}=\frac{x}{x+1}+\frac{3}{2x-2}

    Sfruttiamo la regola sul prodotto di una somma per una differenza

    \frac{\frac{4x}{4x^2-2}}{\frac{3(x-1)}{2x^2-1}}=\frac{x}{x+1}+\frac{3}{2x-2}

    e raccogliamo il fattore comune 2 al numeratore del numeratore principale

    \frac{\frac{4x}{2(2x^2-1)}}{\frac{3(x-1)}{2x^2-1}}=\frac{x}{x+1}+\frac{3}{2x-2}

    Ora scriviamo la frazione di frazioni in forma normale, moltiplicando il numeratore principale per il reciproco del denominatore principale

    \frac{4x}{2(2x^2-1)}\cdot\frac{2x^2-1}{3(x-1)}=\frac{x}{x+1}+\frac{3}{2x-2}

    Semplifichiamo 2 e a croce 2x^2-1

    \frac{2x}{1}\cdot\frac{1}{3(x-1)}=\frac{x}{x+1}+\frac{3}{2x-2}

    e calcoliamo il prodotto

    \frac{2x}{3(x-1)}=\frac{x}{x+1}+\frac{3}{2x-2}

    Finalmente abbiamo fatto sparire il castello di frazioni! Da qui in poi, l'equazione diventa molto più semplice da studiare: l'obiettivo è sempre quello di esprimere l'equazione in forma normale, o detto in maniera più esplicita, dobbiamo fare in modo che al secondo membro compaia zero, mentre il primo dev'essere espresso mediante un'unica frazione

    Trasportiamo tutti i termini al primo membro, prestando la massima attenzione ai segni

    \frac{2x}{3(x-1)}-\frac{x}{x+1}-\frac{3}{2(x-1)}=0

    Calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore

    \frac{2x\cdot 2(x+1)-6x(x-1)-3\cdot 3 (x+1)}{6(x-1)(x+1)}=0

    e sotto i vincoli del C.E. moltiplichiamo i due membri per il denominatore comune, ricavando così l'equazione equivalente

    2x\cdot 2(x+1)-6x(x-1)-3\cdot 3 (x+1)=0

    Non ci resta che eseguire i prodotti

    4x^2+4x+6x-6x^2-9-9x=0

    sommare tra loro i monomi simili e ordinare i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita

    -2x^2+x-9=0

    Ci siamo finalmente ricondotti a un'equazione di secondo grado, i cui coefficienti valgono rispettivamente

    a=-2 \ \ \ ; \ \ \ b=1 \ \ \ ; \ \ \ c=-9

    Per analizzare l'equazione, sfruttiamo la formula del discriminante

    \Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot(-2)\cdot(-9)=-71

    Proprio perché il delta è negativo, possiamo affermare che l'equazione di secondo grado non ammette soluzioni reali ed è dunque impossibile.

    Conseguentemente anche l'equazione fratta è impossibile e dunque il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto:

    S=\emptyset

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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