Esercizio su equazione di secondo grado fratta con radicali

Salve a tutti! Mi potreste spiegare come risolvere questa equazione di secondo grado fratta?

 

\frac{\frac{1}{2x+\sqrt{2}}+\frac{1}{2x-\sqrt{2}}}{\left(\frac{3x}{2x^2-1}\right)\left(1-\frac{1}{x}\right)}= \left(\frac{x}{x+1}\right)+\frac{3}{2x-2}.

In Superiori - Algebra - Domanda di marklycons

 
Soluzioni

  • Abbiamo un'equazione fratta di secondo grado

    \frac{\frac{1}{2x+\sqrt{2}}+\frac{1}{2x-\sqrt{2}}}{\left(\frac{3x}{2x^2-1}\right)\left(1-\frac{1}{x}\right)}= \left(\frac{x}{x+1}\right)+\frac{3}{2x-2}

    Per cominciare dovremmo determinare le condizioni di esistenza, ma in questo caso (a differenza di ciò che si fa di solito) aspettiamo la fine.

    Per prima cosa calcoliamo il minimo comune multiplo al numeratore principale del primo membro:

    \frac{\frac{2x-\sqrt{2}+2x+\sqrt{2}}{(2x+\sqrt{2})(2x -\sqrt{2})}}{\left(\frac{3x}{2x^2-1}\right)\left(\frac{x-1}{x}\right)}= \left(\frac{x}{x+1}\right)+\frac{3}{2x-2}

    A questo punto sommiamo i termini simili, e moltiplichiamo i termini al denominatore:

    \frac{\frac{4x}{4x^2-2}}{\left(\frac{3}{2x^2-1}\right)\left(x-1\right)}= \left(\frac{x}{x+1}\right)+\frac{3}{2x-2}

    \frac{\frac{4x}{4x^2-2}}{\left(\frac{3x-3}{2x^2-1}\right)}= \left(\frac{x}{x+1}\right)+\frac{3}{2x-2}

    \frac{4x}{2(2x^2-1)}\cdot{\left(\frac{2x^2-1}{3x-3}\right)}= \left(\frac{x}{x+1}\right)+\frac{3}{2(x-1)}

    Semplifichiamo in modo opportuno

    \frac{4x}{2}\cdot{\left(\frac{1}{3x-3}\right)}= \left(\frac{x}{x+1}\right)+\frac{3}{2(x-1)}

    Moltiplichiamo

    \left(\frac{2x}{3x-3}\right)= \left(\frac{x}{x+1}\right)+\frac{3}{2(x-1)}

    Osserva che 3x-3=3(x-1) facciamo il minimo comune multiplo tra i denominatori che è 6(x-1)(x+1):

    \frac{4x(x+1)}{6(x-1)(x+1)}=\frac{6(x-1)x}{6(x-1)(x+1)}+\frac{9(x+1)}{6(x-1)(x+1)}

    Il denominatore non serve più: ci siamo ridotti ad un'equazione di secondo grado

    4x(x+1)= 6(x-1)x+9(x+1)

    4x^2+4x= 6x^2-6x+9x+9

    Portiamo tutto al primo membro:

    -2x^2+x-9=0 

    Da cui

    2x^2-x+9=0

    \Delta= 1-72<0

    e non ci sono soluzioni reali.

    Il calcolo delle condizioni d'esistenza non è dunque necessario: l'equazione è già impossibile di per sé.

    Risposta di Ifrit
 
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