Proponiamoci come obiettivo quello di risolvere l'equazione fratta di secondo grado
Per prima cosa dobbiamo imporre le condizioni di esistenza richiedendo che tutti i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero. Attenzione, proprio perché è presente una frazione di frazioni, dobbiamo pretendere che anche il denominatore principale sia non nullo.
Questi erano abbastanza semplici da risolvere. Richiede qualche passaggio in più lo studio della non nullità del denominatore principale, vale a dire:
In virtù della legge di annullamento del prodotto, il primo membro è non nullo se e solo se sono diversi da zero i fattori che lo compongono. Otteniamo pertanto le due disuguaglianze:
Studiamo la prima, richiedendo che il denominatore sia non nullo e risolvendo la disuguaglianza trattandola alla stregua di un'equazione pura
da cui, sfruttando le proprietà dei radicali
Razionalizziamo il denominatore moltiplicando e dividendo la frazione a secondo membro per
, così che l'ultima relazione diventi
Avendo imposto le condizioni di esistenza relative alla disuguaglianza
siamo autorizzati a eliminare il denominatore, ottenendo
Occupiamoci a questo punto della disuguaglianza
e osserviamo che per
, il denominatore sparisce ricavando così la disuguaglianza
È giunto il momento di studiare la non nullità dei denominatori presenti al secondo membro dell'equazione fratta che fortunatamente sono semplici da risolvere:
Finalmente siamo in grado di esplicitare le condizioni che definiscono l'insieme di esistenza
dove
è il connettivo logico "e".
Una volta determinate i vincoli sotto i quali l'equazione ha senso, possiamo iniziare a svolgere i passaggi algebrici che consentono di esprimere l'equazione fratta in forma normale.
Innanzitutto svolgiamo le operazioni presenti nella frazione di frazioni
da cui, semplificando
al denominatore principale e sommando tra loro i termini simili al numeratore:
Sfruttiamo la regola sul prodotto di una somma per una differenza
e raccogliamo il fattore comune 2 al numeratore del numeratore principale
Ora scriviamo la frazione di frazioni in forma normale, moltiplicando il numeratore principale per il reciproco del denominatore principale
Semplifichiamo 2 e a croce
e calcoliamo il prodotto
Finalmente abbiamo fatto sparire il castello di frazioni! Da qui in poi, l'equazione diventa molto più semplice da studiare: l'obiettivo è sempre quello di esprimere l'equazione in forma normale, o detto in maniera più esplicita, dobbiamo fare in modo che al secondo membro compaia zero, mentre il primo dev'essere espresso mediante un'unica frazione
Trasportiamo tutti i termini al primo membro, prestando la massima attenzione ai segni
Calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore
e sotto i vincoli del
moltiplichiamo i due membri per il denominatore comune, ricavando così l'equazione equivalente
Non ci resta che eseguire i prodotti
sommare tra loro i monomi simili e ordinare i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita
Ci siamo finalmente ricondotti a un'equazione di secondo grado, i cui coefficienti valgono rispettivamente
Per analizzare l'equazione, sfruttiamo la formula del discriminante
Proprio perché il delta è negativo, possiamo affermare che l'equazione di secondo grado non ammette soluzioni reali ed è dunque impossibile.
Conseguentemente anche l'equazione fratta è impossibile e dunque il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto:
Abbiamo terminato.
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