Integrale doppio fratto con seno e coseno

Question

Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere l'integrale doppio di una funzione goniometrica fratta. Il dominio di integrazione è caratteristico perché è la parte di piano compresa tra i grafici delle funzioni seno e coseno. Potreste aiutarmi? Calcolare l'integrale doppio iint_(D)(1)/(sin(x)+cos(x)) ,dxdy dove D è l'insieme D = (x,y)∈R^(2) t.c. 0 ≤ x ≤ (π)/(4), cos(x) ≤ y ≤ sin(x) Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Il nostro obiettivo è quello di calcolare l'integrale doppio iint_(D)(1)/(sin(x)+cos(x)) ,dxdy dove D è il sottoinsieme di R^(2) così definito: D = (x,y)∈R^(2) t.c. 0 ≤ x ≤ (π)/(4), cos(x) ≤ y ≤ sin(x) Dal punto di vista algebrico, D è composto dai punti (x,y) le cui ascisse variano nell'intervallo [0,(π)/(4)], mentre le ordinate obbediscono alla doppia disuguaglianza cos(x) ≤ y ≤ sin(x) Dal punto di vista geometrico D è la regione di piano compresa tra le rette di equazioni x = 0 e x = (π)/(4) e i grafici delle funzioni seno e coseno. Il dominio di integrazione si presenta quindi nella forma D = (x,y)∈R^(2) t.c. α ≤ x ≤ β, h(x) ≤ y ≤ k(x) ossia è normale rispetto all'asse delle ascisse, perciò grazie alle formule di riduzione, l'integrale iint_(D)(1)/(sin(x)+cos(x)) ,dxdy = si trasforma nel seguente integrale iterato = ∫_(0)^((π)/(4))[∫_(cos(x))^(sin(x))(1)/(sin(x)+cos(x)) ,dy] dx = Nell'integrale interno è rispetto alla variabile y, mentre la funzione integranda dipende esclusivamente dalla variabile x, per cui possiamo trasportarla fuori dal simbolo di integrale = ∫_(0)^((π)/(4))(1)/(sin(x)+cos(x))[∫_(cos(x))^(sin(x))1 ,dy] ,dx = L'integrale di 1 rispetto a y coincide con y (a meno di costanti additive) ; = ∫_(0)^((π)/(4))(1)/(sin(x)+cos(x))·[y]_(y = cos(x))^(y = sin(x)) ,dx = ∫_(0)^((π)/(4))(cos(x)-sin(x))/(sin(x)+cos(x)) ,dx Ci siamo ricondotti a un integrale definito nella sola variabile x che si presenta nella forma ∫(f'(x))/(f(x)) ,dx = ln(|f(x)|)+c infatti che della funzione a numeratore (cos(x)-sin(x)) è esattamente la derivata della funzione a denominatore (sin(x)+cos(x)), di conseguenza: ; ∫_(0)^((π)/(4))(cos(x)-sin(x))/(sin(x)+cos(x)) ,dx = [ln(|sin(x)+cos(x)|)]_(x = 0)^(x = (π)/(4)) = ln(sin((π)/(4))+cos((π)/(4)))-ln(sin(0)+cos(0)) = ln(√(2))-ln(1) = ln(√(2)) In conclusione iint_(D)(1)/(sin(x)+cos(x)) ,dxdy = ln(√(2)) Abbiamo finito! Nota. il risultato dell'integrale doppio può essere ulteriormente semplificato se si esprime il radicale come potenza a esponente fratto e si usa in seguito la proprietà del logaritmo di una potenza ln(√(2)) = ln(2^((1)/(2))) = (1)/(2)ln(2)