Soluzioni
  • Il nostro obiettivo è quello di calcolare l'integrale doppio

    iint_(D)(1)/(sin(x)+cos(x)) ,dxdy

    dove D è il sottoinsieme di R^(2) così definito:

    D = (x,y)∈R^(2) t.c. 0 ≤ x ≤ (π)/(4), cos(x) ≤ y ≤ sin(x)

    Dal punto di vista algebrico, D è composto dai punti (x,y) le cui ascisse variano nell'intervallo [0,(π)/(4)], mentre le ordinate obbediscono alla doppia disuguaglianza

    cos(x) ≤ y ≤ sin(x)

    Dal punto di vista geometrico D è la regione di piano compresa tra le rette di equazioni x = 0 e x = (π)/(4) e i grafici delle funzioni seno e coseno.

    Il dominio di integrazione si presenta quindi nella forma

    D = (x,y)∈R^(2) t.c. α ≤ x ≤ β, h(x) ≤ y ≤ k(x)

    ossia è normale rispetto all'asse delle ascisse, perciò grazie alle formule di riduzione, l'integrale

    iint_(D)(1)/(sin(x)+cos(x)) ,dxdy =

    si trasforma nel seguente integrale iterato

    = ∫_(0)^((π)/(4))[∫_(cos(x))^(sin(x))(1)/(sin(x)+cos(x)) ,dy] dx =

    Nell'integrale interno è rispetto alla variabile y, mentre la funzione integranda dipende esclusivamente dalla variabile x, per cui possiamo trasportarla fuori dal simbolo di integrale

    = ∫_(0)^((π)/(4))(1)/(sin(x)+cos(x))[∫_(cos(x))^(sin(x))1 ,dy] ,dx =

    L'integrale di 1 rispetto a y coincide con y (a meno di costanti additive)

     = ∫_(0)^((π)/(4))(1)/(sin(x)+cos(x))·[y]_(y = cos(x))^(y = sin(x)) ,dx = ∫_(0)^((π)/(4))(cos(x)-sin(x))/(sin(x)+cos(x)) ,dx

    Ci siamo ricondotti a un integrale definito nella sola variabile x che si presenta nella forma

    ∫(f'(x))/(f(x)) ,dx = ln(|f(x)|)+c

    infatti che della funzione a numeratore (cos(x)-sin(x)) è esattamente la derivata della funzione a denominatore (sin(x)+cos(x)), di conseguenza:

     ∫_(0)^((π)/(4))(cos(x)-sin(x))/(sin(x)+cos(x)) ,dx = [ln(|sin(x)+cos(x)|)]_(x = 0)^(x = (π)/(4)) = ln(sin((π)/(4))+cos((π)/(4)))-ln(sin(0)+cos(0)) = ln(√(2))-ln(1) = ln(√(2))

    In conclusione

    iint_(D)(1)/(sin(x)+cos(x)) ,dxdy = ln(√(2))

    Abbiamo finito!

    Nota. il risultato dell'integrale doppio può essere ulteriormente semplificato se si esprime il radicale come potenza a esponente fratto e si usa in seguito la proprietà del logaritmo di una potenza

    ln(√(2)) = ln(2^((1)/(2))) = (1)/(2)ln(2)

    Risposta di Ifrit
 
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