Soluzioni
  • Nel caso considerato non è possibile procedere con Ruffini: per determinare le soluzioni dell'equazione bisogna anzitutto provarne l'esistenza, applicando ad esempio il teorema degli zeri di Bolzano su un opportuno intervallo (non ci sono problemi di scelta, dato che la funzione che definisce l'equazione è polinomiale ed è dunque definita su tutto \mathbb{R}).

    Provata l'esistenza, ci sono due modi di procedere:

    1) applicare un metodo numerico di approssimazione delle soluzioni (Bisezione, Tangenti di Newton-Raphson,...)

    2) Metodo grafico, scrivendo l'equazione come equazione di confronto tra due funzioni e determinane le intersezioni dei due grafici delle funzioni.

    L'equazione che proponi ha una e una sola soluzione reale.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Grazie omega della risposta. Quindi che soluzione proponi da spiegarmi delle due?

    Risposta di jino88
  • Personalmente adotterei la seconda: in ogni caso non puoi determinare la forma esatta delle soluzioni dell'equazione, ma solo un'approssimazione delle stesse.

    Dopo aver osservato che la funzione

    f(x)=x^3-x^2+4x+8

    ha derivata

    f'(x)=3x^2-2x+4

    che è positiva sull'intero asse reale (polinomio con delta negativo e coefficiente del termine di grado due positivo), cosicché f è una funzione crescente sull'intero asse reale, ne deduciamo che interseca l'asse delle ascisse (i.e. soluzioni dell'equazione) in un solo punto.

    Ciò prova di per sé l'esistenza di almeno una soluzione dell'equazione, ma se vogliamo localizzarla applichiamo il teorema degli zeri di Bolzano all'intervallo [-2,0].

    Fatto ciò, conviene riscrivere l'equazione nella forma

    x^3=x^2-4x-8

    e confrontare i grafici della cubica g(x)=x^3 e della quadratica (parabola) h(x)=x^2-4x-8.

    L'unica intersezione tra i due grafici, approssimativamente x_{0}\simeq -1,1 è l'unica soluzione dell'equazione data.

    PS: se vuoi aiutarti, puoi controllare i tuoi grafici con il tool per il grafico online. ;)

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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