Risoluzione di un'equazione goniometrica con sen^2 e cos^2

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Non riesco a risolvere un'equazione goniometrica in cui al primo membro compare il prodotto tra il seno e il coseno al quadrato. Quali formule goniometriche devo usare?

 

Calcolare le soluzioni dell'equazione goniometrica

 

sin^2(x)cos^2(x) = (1)/(8)

 

Grazie.

Domanda di matol

 
Soluzioni

  • L'equazione trigonometrica da risolvere è

    sin^2(x)cos^2(x) = (1)/(8)

    Per ricavarne le soluzioni utilizzeremo qualche trucco algebrico così da semplificare i quadrati di seno e coseno. In particolare possiamo usare la formula di duplicazione del seno

    sin(2x) = 2sin(x)cos(x) per ogni x∈R

    da cui elevando al quadrato i due membri ricaviamo l'uguaglianza

    sin^2(2x) = 4sin^2(x)cos^2(x)

    Teniamola a mente e ritorniamo all'equazione iniziale, che una volta moltiplicati i due membri per 4 diventa

    4sin^2(x)cos^2(x) = (1)/(2)

    Osserviamo che il primo membro non è altro che sin^2(4x) - in accordo con l'uguaglianza ricavata precedentemente, pertanto scriviamo

    sin^2(2x) = (1)/(2)

    Qui abbiamo due possibilità, estraendo infatti la radice quadrata ai due membri otteniamo le equazioni elementari

    sin(2x) = -(1)/(√(2)) oppure sin(2x) = (1)/(√(2))

    che possiamo risolvere mediante una semplice sostituzione: poniamo t = 2x.

    La prima equazione diventa

    sin(t) = -(1)/(√(2))

    da cui, tenendo a mente i valori notevoli del seno, ricaviamo due famiglie di soluzioni

    t = (5π)/(4)+2kπ ; t = (7π)/(4)+2kπ

    dove k è libero di variare nell'insieme dei numeri interi. Chiaramente dobbiamo ripristinare l'incognita x ricorrendo alla sostituzione t = 2x, grazie alla quale le due relazioni precedenti diventano rispettivamente

    2x = (5π)/(4)+2kπ → x = (5π)/(8)+kπ ; 2x = (7π)/(4)+2kπ → x = (7π)/(8)+kπ

    Occupiamoci della seconda equazione che grazie alla sostituzione diventa

    sin(t) = (1)/(√(2))

    da cui

    t = (π)/(4)+2kπ ; t = (3π)/(4)+2kπ

    con k∈Z. Ritorniamo nell'incognita x sostituendo all'incognita ausiliaria t la sua espressione 2x: le precedenti relazioni diventano

    2x = (π)/(4)+2kπ → x = (π)/(8)+kπ ; 2x = (3π)/(4)+2kπ → x = (3π)/(8)+kπ

    con k∈Z.

    Risolte le due equazioni elementari, possiamo concludere che

    sin^2(x)cos^2(x) = (1)/(8)

    è soddisfatta dalle seguenti famiglie di valori

    x = (5π)/(8)+kπ , x = (7π)/(8)+kπ ; x = (π)/(8)+kπ , x = (3π)/(8)+kπ

    con k∈Z.

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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