Derivata di una funzione composta con radice

Buongiorno, vi chiedo una mano per il calcolo della derivata di una funzione composta in cui compare una radice: devo determinare la derivata di:

 

f(x)=\ln{[3x+\sqrt{2+9x^2}]}.

 

Grazie in anticipo.

In Uni - Analisi - Domanda di diabolik

 
Soluzioni

  • Ciao Diabolik, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per derivare

    f(x)=\ln{[3x+\sqrt{2+9x^2}]}

    cominciamo col derivare il logaritmo, in accordo con il teorema di derivazione della funzione composta

    f'(x)=\frac{1}{[3x+\sqrt{2+9x^2}]}\frac{d}{dx}[3x+\sqrt{2+9x^2}]

    Per la seconda derivata, ci serve la regola di derivazione di una somma di funzioni

    \frac{d}{dx}[3x+\sqrt{2+9x^2}]=\frac{d}{dx}[3x]+\frac{d}{dx}[\sqrt{2+9x^2}]

    La derivata del primo addendo è semplice

    \frac{d}{dx}[3x]=3

    la derivata del secondo addendo va calcolata applicando ancora una volta il teorema di derivazione della funzione composta

    \frac{d}{dx}[\sqrt{2+9x^2}]=\frac{1}{2\sqrt{2+9x^2}}\frac{d}{dx}[2+9x^2]

    ed infine per derivare

    \frac{d}{dx}[2+9x^2]=\frac{d}{dx}[2]+\frac{d}{dx}[9x^2]=0+18x

    si applica ancora una volta la regola di derivazione di una somma di funzioni.

    Ricomponi il tutto e ci sei Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Ok perfetto! ma il risultato del libro è:

    f'(x)=\frac{3}{\sqrt{2+9x^2}}

    Come ci arrivo?

    Risposta di diabolik

  • E' solo questione di semplificare algebricamente la derivata che abbiamo calcolato (dopo averla ricomposta pezzo per pezzo, beninteso).

    Se hai difficoltà con i conti, fammelo sapere.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • purtroppo ho replicato proprio perchè non vedo la strada per arrivare a quel risultato.. Embarassed

    Risposta di diabolik

  • Se scrivi la derivata, hai

    f'(x)=\frac{1}{3x+\sqrt{2+9x^2}}\left[3+\frac{1}{2\sqrt{2+9x^2}}18x\right]

    cioè

    f'(x)=\frac{1}{3x+\sqrt{2+9x^2}}\left[3+\frac{1}{\sqrt{2+9x^2}}9x\right]

    cioè

    f'(x)=\frac{1}{3x+\sqrt{2+9x^2}}\left[\frac{3\sqrt{2+9x^2}+9x}{\sqrt{2+9x^2}}\right]

    cioè

    f'(x)=\frac{3}{\sqrt{2+9x^2}}

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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