Derivata di una funzione composta con radice

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Buongiorno, vi chiedo una mano per il calcolo della derivata di una funzione composta in cui compare una radice: devo determinare la derivata di:

 

f(x) = ln([3x+√(2+9x^2)]).

 

Grazie in anticipo.

Domanda di diabolik

 
Soluzioni

  • Ciao Diabolik, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per derivare

    f(x) = ln([3x+√(2+9x^2)])

    cominciamo col derivare il logaritmo, in accordo con il teorema di derivazione della funzione composta

    f'(x) = (1)/([3x+√(2+9x^2)])(d)/(dx)[3x+√(2+9x^2)]

    Per la seconda derivata, ci serve la regola di derivazione di una somma di funzioni

    (d)/(dx)[3x+√(2+9x^2)] = (d)/(dx)[3x]+(d)/(dx)[√(2+9x^2)]

    La derivata del primo addendo è semplice

    (d)/(dx)[3x] = 3

    la derivata del secondo addendo va calcolata applicando ancora una volta il teorema di derivazione della funzione composta

    (d)/(dx)[√(2+9x^2)] = (1)/(2√(2+9x^2))(d)/(dx)[2+9x^2]

    ed infine per derivare

    (d)/(dx)[2+9x^2] = (d)/(dx)[2]+(d)/(dx)[9x^2] = 0+18x

    si applica ancora una volta la regola di derivazione di una somma di funzioni.

    Ricomponi il tutto e ci sei Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Ok perfetto! ma il risultato del libro è:

    f'(x)=\frac{3}{\sqrt{2+9x^2}}

    Come ci arrivo?

    Risposta di diabolik

  • E' solo questione di semplificare algebricamente la derivata che abbiamo calcolato (dopo averla ricomposta pezzo per pezzo, beninteso).

    Se hai difficoltà con i conti, fammelo sapere.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • purtroppo ho replicato proprio perchè non vedo la strada per arrivare a quel risultato.. Embarassed

    Risposta di diabolik

  • Se scrivi la derivata, hai

    f'(x) = (1)/(3x+√(2+9x^2))[3+(1)/(2√(2+9x^2))18x]

    cioè

    f'(x) = (1)/(3x+√(2+9x^2))[3+(1)/(√(2+9x^2))9x]

    cioè

    f'(x) = (1)/(3x+√(2+9x^2))[(3√(2+9x^2)+9x)/(√(2+9x^2))]

    cioè

    f'(x) = (3)/(√(2+9x^2))

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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