Soluzioni
  • Siano \vec{u}, \vec{v} due vettori di \mathbb{R}^3.

    Dobbiamo dimostrare che il quadrato della norma del prodotto vettoriale tra \vec{u} \mbox{ e } \vec{v} è uguale al prodotto tra i quadrati delle norme di \vec{u} e di \vec{v}, meno il quadrato del loro prodotto scalare. In formule

    ||\vec{u} \times \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 \ ||\vec{v}||^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v})^2

    Se almeno uno dei due vettori è il vettore nullo, si ha subito la tesi.

    Per convincersene supponiamo che \vec{u}=\vec{0} e osserviamo che:

    la norma del prodotto vettoriale è zero

    ||\vec{u} \times \vec{v}|| = ||\vec{0} \times \vec{v}|| = ||\vec{0}|| = 0

    la norma di \vec{u} è zero

    ||\vec{u}||=0

    il prodotto scalare tra \vec{u} \mbox{ e } \vec{v} è nullo

    \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{0} \cdot \vec{v} = 0

    Dunque entrambi i membri della relazione da dimostrare sono nulli, e dall'uguaglianza 0=0 segue la tesi.

    Supponiamo, ora, che entrambi i vettori siano non nulli. Dalla definizione di prodotto vettoriale è noto che

    ||\vec{u} \times \vec{v}|| = ||\vec{u}|| \ ||\vec{v}|| \sin(\theta)

    dove \theta è l'angolo convesso formato dai vettori \vec{u}, \vec{v}.

    Eleviamo ambo i membri al quadrato

    ||\vec{u} \times \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 \ ||\vec{v}||^2 \sin^2(\theta)

    Per la relazione fondamentale della Trigonometria

    \sin^2(\theta)=1-\cos^2(\theta)

    Sostituendo otteniamo

    \\ ||\vec{u} \times \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 \ ||\vec{v}||^2 \sin^2(\theta) = \\ \\ = ||\vec{u}||^2 \ ||\vec{v}||^2 (1-\cos^2(\theta)) = \\ \\ = ||\vec{u}||^2 \ ||\vec{v}||^2 - ||\vec{u}||^2 \ ||\vec{v}||^2 \cos^2(\theta)

    Dalla formula per calcolare l'ampiezza dell'angolo tra due vettori sappiamo che

    \cos(\theta)=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \ ||\vec{v}||}

    per cui

    \cos^2(\theta)=\frac{(\vec{u} \cdot \vec{v})^2}{||\vec{u}||^2 \ ||\vec{v}||^2}

    Procedendo a un'ulteriore sostituzione si ha la tesi, infatti

    \\ ||\vec{u} \times \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 \ ||\vec{v}||^2 \sin^2(\theta) = \\ \\ = ||\vec{u}||^2 \ ||\vec{v}||^2 (1-\cos^2(\theta)) = \\ \\ = ||\vec{u}||^2 \ ||\vec{v}||^2 - ||\vec{u}||^2 \ ||\vec{v}||^2 \cos^2(\theta) = \\ \\ = ||\vec{u}||^2 \ ||\vec{v}||^2 - ||\vec{u}||^2 \ ||\vec{v}||^2 \left(\frac{(\vec{u} \cdot \vec{v})^2}{||\vec{u}||^2 \ ||\vec{v}||^2}\right)= \\ \\ = ||\vec{u}||^2 \ ||\vec{v}||^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v})^2

    Passiamo ora alla parte dell'esercizio che chiede di determinare la norma del prodotto vettoriale tra \vec{u} \mbox{ e } \vec{v} sapendo che

    ||\vec{u}||=5, \ ||\vec{v}||=2, \ \vec{u}\cdot \vec{v}=-6

    Riscriviamo la relazione appena dimostrata

    ||\vec{u} \times \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 \ ||\vec{v}||^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v})^2

    sostituiamo i dati noti, e svolgiamo i conti

    \\ ||\vec{u} \times \vec{v}||^2 = 5^2 \cdot 2^2 - (-6)^2 = \\ \\ = 25 \cdot 4 - 36 = \\ \\ = 100 - 36 = \\ \\ =64

    Di conseguenza

    ||\vec{u} \times \vec{v}|| = \sqrt{64} = 8

    Abbiamo finito!

    Risposta di Galois
 
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