Soluzioni
  • Siano u, v due vettori di R^3.

    Dobbiamo dimostrare che il quadrato della norma del prodotto vettoriale tra u e v è uguale al prodotto tra i quadrati delle norme di u e di v, meno il quadrato del loro prodotto scalare. In formule

    ||u×v||^2 = ||u||^2 ||v||^2-(u·v)^2

    Se almeno uno dei due vettori è il vettore nullo, si ha subito la tesi.

    Per convincersene supponiamo che u = 0 e osserviamo che:

    la norma del prodotto vettoriale è zero

    ||u×v|| = ||0×v|| = ||0|| = 0

    la norma di u è zero

    ||u|| = 0

    il prodotto scalare tra u e v è nullo

    u·v = 0·v = 0

    Dunque entrambi i membri della relazione da dimostrare sono nulli, e dall'uguaglianza 0=0 segue la tesi.

    Supponiamo, ora, che entrambi i vettori siano non nulli. Dalla definizione di prodotto vettoriale è noto che

    ||u×v|| = ||u|| ||v|| sin(θ)

    dove θ è l'angolo convesso formato dai vettori u, v.

    Eleviamo ambo i membri al quadrato

    ||u×v||^2 = ||u||^2 ||v||^2 sin^2(θ)

    Per la relazione fondamentale della Trigonometria

    sin^2(θ) = 1-cos^2(θ)

    Sostituendo otteniamo

     ||u×v||^2 = ||u||^2 ||v||^2 sin^2(θ) = ||u||^2 ||v||^2 (1-cos^2(θ)) = ||u||^2 ||v||^2-||u||^2 ||v||^2 cos^2(θ)

    Dalla formula per calcolare l'ampiezza dell'angolo tra due vettori sappiamo che

    cos(θ) = (u·v)/(||u|| ||v||)

    per cui

    cos^2(θ) = ((u·v)^2)/(||u||^2 ||v||^2)

    Procedendo a un'ulteriore sostituzione si ha la tesi, infatti

     ||u×v||^2 = ||u||^2 ||v||^2 sin^2(θ) = ||u||^2 ||v||^2 (1-cos^2(θ)) = ||u||^2 ||v||^2-||u||^2 ||v||^2 cos^2(θ) = ||u||^2 ||v||^2-||u||^2 ||v||^2 (((u·v)^2)/(||u||^2 ||v||^2)) = ||u||^2 ||v||^2-(u·v)^2

    Passiamo ora alla parte dell'esercizio che chiede di determinare la norma del prodotto vettoriale tra u e v sapendo che

    ||u|| = 5, ||v|| = 2, u·v = -6

    Riscriviamo la relazione appena dimostrata

    ||u×v||^2 = ||u||^2 ||v||^2-(u·v)^2

    sostituiamo i dati noti, e svolgiamo i conti

     ||u×v||^2 = 5^2·2^2-(-6)^2 = 25·4-36 = 100-36 = 64

    Di conseguenza

    ||u×v|| = √(64) = 8

    Abbiamo finito!

    Risposta di Galois
 
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