Circonferenze con parametro che staccano una corda

  1. Home
  2. Domande e Risposte
  3. Superiori - Geometria

Buonasera vorrei sapere come trovare le circonferenze di un fascio che staccano una certa corda. Come si svolge questo esercizio?

 

x^2+y^2-6x-4y+c = 0, trovare quella che stacca sull'asse delle ordinate una corda lunga 2√(2).

 

La soluzione del libro è: c = 2.

Domanda di titti1995

 
Soluzioni

  • ciao titti arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Abbiamo la famiglia di circonferenze:

    x^2+y^2-6x-4y+c = 0

    Calcoliamo i punti di intersezione con l'asse Y al variare di c impostando il sistema:

    x^2+y^2-6x-4y+c = 0 ; x = 0

    Otterremo l'equazione di secondo grado risolvente:

    y^2-4y+c = 0

    Calcoliamo il discriminante:

    Δ = 16-4c

    Affinché l'equazione risolvente abbia soluzioni reali dobbiamo imporre che il discriminante associato sia maggiore di zero:

    Δ > 0 ⇔ 16-4c > 0 ⇔ c < 4

    Le soluzioni sono:

    y_1 = (4-√(16-4c))/(2) = (4-2√(4-c))/(2) = 2-√(4-c)

    y_2 = (4+√(16-4c))/(2) = 2+√(4-c)

    Abbiamo quindi due punti:

    A = (0, 3-√(4-c))

    B = (0, 3+√(4-c))

    La lunghezza della corda di estremi A e B è 2rad(2)

    Calcoliamo la distanza tra i due punti A e B:

    AB = |y_B-y_A| = |3+√(4-c)-3+√(4-c)| = 2√(4-c)

    Imponiamo l'uguaglianza con 2 rad(2)

    2√(4-c) = 2√(2)

    dividiamo membro a membro per 2

    √(4-c) = √(2)

    Eleviamo al quadrato membro a membro:

    4-c = 2 ⇔ -c = -2 ⇔ c = 2

    Finito!

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
Le più lette
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Scuole Superiori - Geometria