Circonferenze con parametro che staccano una corda

Buonasera vorrei sapere come trovare le circonferenze di un fascio che staccano una certa corda. Come si svolge questo esercizio?

x^2+y^2-6x-4y+c = 0, trovare quella che stacca sull'asse delle ordinate una corda lunga 2√(2).

La soluzione del libro è: c = 2.

Domanda di titti1995
Soluzioni

ciao titti arrivo :D

Risposta di Ifrit

Abbiamo la famiglia di circonferenze:

x^2+y^2-6x-4y+c = 0

Calcoliamo i punti di intersezione con l'asse Y al variare di c impostando il sistema:

x^2+y^2-6x-4y+c = 0 ; x = 0

Otterremo l'equazione di secondo grado risolvente:

y^2-4y+c = 0

Calcoliamo il discriminante:

Δ = 16-4c

Affinché l'equazione risolvente abbia soluzioni reali dobbiamo imporre che il discriminante associato sia maggiore di zero:

Δ > 0 ⇔ 16-4c > 0 ⇔ c < 4

Le soluzioni sono:

y_1 = (4-√(16-4c))/(2) = (4-2√(4-c))/(2) = 2-√(4-c)

y_2 = (4+√(16-4c))/(2) = 2+√(4-c)

Abbiamo quindi due punti:

A = (0, 3-√(4-c))

B = (0, 3+√(4-c))

La lunghezza della corda di estremi A e B è 2rad(2)

Calcoliamo la distanza tra i due punti A e B:

AB = |y_B-y_A| = |3+√(4-c)-3+√(4-c)| = 2√(4-c)

Imponiamo l'uguaglianza con 2 rad(2)

2√(4-c) = 2√(2)

dividiamo membro a membro per 2

√(4-c) = √(2)

Eleviamo al quadrato membro a membro:

4-c = 2 ⇔ -c = -2 ⇔ c = 2

Finito!

Risposta di Ifrit

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