Soluzioni
  • Il problema si risolve senza troppe difficoltà usando il teorema di Rolle, il quale stabilisce che se y=h(x):

    - è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b];

    - è una funzione derivabile nell'intervallo aperto (a,b);

    - soddisfa la condizione h(a)=h(b)

    Allora esiste un punto x_0\in (a,b) che annulla la derivata prima di y=h(x), vale cioè l'uguaglianza

    h'(x_0)=0

    Analizziamo le funzioni che il testo ci propone, ragionando sull'intervallo [-1,1].

    \bullet \ \ \ f(x)=\ln(x^4+x^2+1)

    - è una funzione continua in [-1,1] per il teorema sulla continuità delle composizione di funzioni continue, f(x) è la composizione della funzione logaritmica con una polinomiale, entrambe notoriamente continue;

    - È una funzione derivabile in (-1,1) per il teorema sulla derivabilità della funzione composta.

    \bullet \ \ \ g(x)=e^{\sin^2(x)}

    - è continua in [-1,1] perché composizione della funzione esponenziale e del quadrato della funzione seno, tutte funzioni notoriamente continue;

    - è derivabile in (-1,1) perché composizione di funzioni derivabili.

    Dopo l'analisi preliminare, consideriamo la funzione ausiliaria

    h(x)=f(x)-g(x)=\ln(x^4+x^2+1)-e^{\sin^2(x)}

    Se valgono le ipotesi del teorema di Rolle l'esercizio è praticamente risolto. Verifichiamolo.

    \bullet \ \ \ h(x) è continua in [-1,1] perché differenza di funzioni continue;

    \bullet \ \ \ h(x) è derivabile in (-1,1) perché differenza di funzioni derivabili;

    Verifichiamo la terza ipotesi h(a)=h(b): dobbiamo verificare che h(x) assume lo stesso valore agli estremi dell'intervallo [-1,1].

    A tal proposito calcoliamo la valutazione della funzione ausiliaria nel primo estremo

    \\ h(-1)=f(-1)-g(-1)=\ln((-1)^4+(-1)^2+1)-e^{\sin^2(-1)}=\\ \\ =\ln(3)-e^{\sin^2(-1)}=(\bullet)

    Poiché il seno è una funzione dispari allora vale l'uguaglianza

    \sin(-1)=-\sin(1)

    Se eleviamo i due membri al quadrato, ricaviamo la seguente relazione

    \sin^2(-1)=\sin^2(1)

    grazie alla quale (\bullet) diventa

    (\bullet)=\ln(3)-e^{\sin^2(1)}

    Valutiamo la funzione y=h(x) nel secondo estremo dell'intervallo [-1,1]

    \\ h(1)=f(1)-g(1)=\ln(1^4+1^2+1)-e^{\sin^2(1)}=\\ \\ =\ln(3)-e^{\sin^2(1)}

    Le ipotesi del teorema di Rolle sono verificate, perciò esiste (almeno) un numero reale x_0\in (-1,1) che annulla la derivata prima di h

    h'(x_0)=0 \ \ \ \mbox{con} \ x_0\in (-1,1)

    Poiché la derivata della differenza di due funzioni derivabili è uguale alla differenza delle derivate dei singoli addendi, possiamo riscrivere l'uguaglianza come segue

    f'(x_0)-g'(x_0)=0 \ \ \ \mbox{con} \ x_0\in (-1,1)

    ossia

    f'(x_0)=g'(x_0) \ \ \ \mbox{con} \ x_0\in (-1,1)

    In conclusione, il teorema di Rolle garantisce l'esistenza di (almeno) un numero reale x_0\in(-1,1) in cui la derivata di y=f(x) coincide con la derivata di y=g(x).

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
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