Punto in cui due derivate coincidono (quesito maturità)

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Stavo esercitandomi per la seconda prova di Maturità e mi è capitato un esercizio in cui mi si chiede di dimostrare l'esistenza di un punto in cui le derivate di due funzioni coincidono. Penso che si debba applicare il teorema di Rolle, ma non ne sono sicuro.

 

Date le funzioni

 

f(x) = ln(x^4+x^2+1) ; g(x) = e^(sin^2(x))

 

dimostrare che esiste almeno un punto x_0 interno all'intervallo [-1,1] tale che risulti f'(x_0) = g'(x_0).

 

Grazie.

Domanda di IlCommodoro

 
Soluzioni

  • Il problema si risolve senza troppe difficoltà usando il teorema di Rolle, il quale stabilisce che se y = h(x):

    - è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b];

    - è una funzione derivabile nell'intervallo aperto (a,b);

    - soddisfa la condizione h(a) = h(b)

    Allora esiste un punto x_0∈ (a,b) che annulla la derivata prima di y = h(x), vale cioè l'uguaglianza

    h'(x_0) = 0

    Analizziamo le funzioni che il testo ci propone, ragionando sull'intervallo [-1,1].

    • f(x) = ln(x^4+x^2+1)

    - è una funzione continua in [-1,1] per il teorema sulla continuità delle composizione di funzioni continue, f(x) è la composizione della funzione logaritmica con una polinomiale, entrambe notoriamente continue;

    - È una funzione derivabile in (-1,1) per il teorema sulla derivabilità della funzione composta.

    • g(x) = e^(sin^2(x))

    - è continua in [-1,1] perché composizione della funzione esponenziale e del quadrato della funzione seno, tutte funzioni notoriamente continue;

    - è derivabile in (-1,1) perché composizione di funzioni derivabili.

    Dopo l'analisi preliminare, consideriamo la funzione ausiliaria

    h(x) = f(x)-g(x) = ln(x^4+x^2+1)-e^(sin^2(x))

    Se valgono le ipotesi del teorema di Rolle l'esercizio è praticamente risolto. Verifichiamolo.

    • h(x) è continua in [-1,1] perché differenza di funzioni continue;

    • h(x) è derivabile in (-1,1) perché differenza di funzioni derivabili;

    Verifichiamo la terza ipotesi h(a) = h(b): dobbiamo verificare che h(x) assume lo stesso valore agli estremi dell'intervallo [-1,1].

    A tal proposito calcoliamo la valutazione della funzione ausiliaria nel primo estremo

    h(-1) = f(-1)-g(-1) = ln((-1)^4+(-1)^2+1)-e^(sin^2(-1)) = ln(3)-e^(sin^2(-1)) = (•)

    Poiché il seno è una funzione dispari allora vale l'uguaglianza

    sin(-1) = -sin(1)

    Se eleviamo i due membri al quadrato, ricaviamo la seguente relazione

    sin^2(-1) = sin^2(1)

    grazie alla quale (•) diventa

    (•) = ln(3)-e^(sin^2(1))

    Valutiamo la funzione y = h(x) nel secondo estremo dell'intervallo [-1,1]

    h(1) = f(1)-g(1) = ln(1^4+1^2+1)-e^(sin^2(1)) = ln(3)-e^(sin^2(1))

    Le ipotesi del teorema di Rolle sono verificate, perciò esiste (almeno) un numero reale x_0∈ (-1,1) che annulla la derivata prima di h

    h'(x_0) = 0 con x_0∈ (-1,1)

    Poiché la derivata della differenza di due funzioni derivabili è uguale alla differenza delle derivate dei singoli addendi, possiamo riscrivere l'uguaglianza come segue

    f'(x_0)-g'(x_0) = 0 con x_0∈ (-1,1)

    ossia

    f'(x_0) = g'(x_0) con x_0∈ (-1,1)

    In conclusione, il teorema di Rolle garantisce l'esistenza di (almeno) un numero reale x_0∈(-1,1) in cui la derivata di y = f(x) coincide con la derivata di y = g(x).

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
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