Soluzioni
  • Ciao Ilcommodoro arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Allora prima di tutto consideriamo la funzione ausiliaria:

    h(x)= f(x)-g(x)

    La funzione h è continua in [-1,1] perché somma di funzioni continue, inoltre è derivabile in (-1,1) perché somma di funzioni derivabili:

    Valutiamo la funzione agli estremi:

    h(-1)= f(-1)-g(-1)= \ln(4)-e^{\sin^2(1)}

    h(1)= f(1)-g(1)= \ln(4)-e^{\sin^2(1)}

    Abbiamo quindi scoperto che:

    h(-1)= h(1)

    La funzione ausiliaria h soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Rolle quindi esiste un punto 

    x_0\in(-1, 1)

    per cui vale:

    h'(x_0)=0

    Ma

    h'(x_0)= f'(x_0)-g'(x_0)

    Quindi:

    h'(x_0)=0\implies f'(x_0)-g'(x_0)=0\iff f'(x_0)= g'(x_0)

    Abbiamo quindi dimostrato l'esistenza di un punto x0 interno a [-1,1] per il quale 

    f'(x_0)= g'(x_0)

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    Risposta di Ifrit
  • Perché g(-1) non viene esen2(-1) ?

    Risposta di IlCommodoro
  • Osserva che:

    \sin(-x)= -\sin(x)

    cioè il seno è una funzione dispari:

    g(-1)= e^{\sin^2(-1)}= e^{(-\sin(1))^2}= e^{\sin^2(1)}

    Risposta di Ifrit
 
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