Soluzioni
  • Per calcolare il limite

    \lim_{x\to +\infty}\frac{3^{x+2}-2^{2x+1}}{5^{-x+3}+4^{x-1}}=

    usiamo le proprietà delle potenze mediante le quali possiamo esprimere i termini esponenziali come segue

    \\ =\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x\cdot 3^{2}-2^{2x}\cdot 2}{5^{-x}\cdot 5^{3}+4^{x}\cdot 4^{-1}}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to +\infty}\frac{9\cdot 3^{x}-2\cdot 4^{x}}{125\cdot 5^{-x}+4^{-1}\cdot 4^{x}}=(\bullet)

    A questo punto osserviamo che al numeratore -2\cdot4^{x} è un infinito di ordine superiore rispetto a 9\cdot 3^{x}, ossia

    9\cdot 3^{x}<<-2\cdot 4^{x} \ \ \ \mbox{ per }x\to +\infty

    pertanto 9\cdot 3^{x} verrà trascurato. Al denominatore il termine 125\cdot 5^{-x} tende a 0 quando x\to +\infty e in base al principio di eliminazione degli infiniti di ordine inferiore il limite si esprime nella forma equivalente

    =\lim_{x\to +\infty}\frac{-2\cdot 4^{x}}{4^{-1}\cdot 4^{x}}=

    Semplifichiamo il termine esponenziale e aggiustiamo il risultato facendo uso della definizione di potenza con esponente negativo

    =\lim_{x\to +\infty}\frac{-2}{4^{-1}}= -\frac{2}{4^{-1}}= -2\cdot 4=-8

    Fatto!

     

    Metodo ingenuo

    Proponiamo anche il metodo ingenuo per calcolare il limite

    \lim_{x\to +\infty}\frac{3^{x+2}-2^{2x+1}}{5^{-x+3}+4^{x-1}}=

    Sempre grazie alle proprietà delle potenze, riscriviamo il limite come

    =\lim_{x\to +\infty}\frac{9\cdot 3^{x}-2\cdot 4^{x}}{5^3\cdot 5^{-x}+4^{-1}\cdot 4^{x}}=

    ed osserviamo che l'esponenziale con base 5 tende a 0 per x\to +\infty. Sotto queste condizioni siamo autorizzati a calcolare equivalentemente il limite

    =\lim_{x\to +\infty}\frac{9\cdot 3^{x}-2\cdot 4^{x}}{4^{-1}\cdot 4^{x}}=

    Distribuiamo il denominatore a ciascun addendo del numeratore

    =\lim_{x\to +\infty}\left[\frac{9\cdot 3^{x}}{4^{-1}\cdot 4^{x}}-\frac{2\cdot 4^{x}}{4^{-1}\cdot 4^{x}}\right]=

    e applichiamo a dovere le proprietà delle potenze per giungere al limite equivalente

    =\lim_{x\to +\infty}\left[36\left(\frac{3}{4}\right)^{x}-8\right]=(\bullet)

    Concordemente con i limiti fondamentali

    \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{x}=0

    essendo y=\left(\frac{3}{4}\right)^{x} una funzione esponenziale con base compresa tra 0 e 1, pertanto possiamo concludere che il limite vale -8

    (\bullet)=\lim_{x\to +\infty}(-8)=-8

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
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