Soluzioni
  • Per calcolare il limite

    \lim_{x\to -\infty}\frac{x^3+2^{-x}}{\sin(x)+x+3^{x}}=

    utilizzeremo il confronto tra infiniti, ma prima è necessario effettuare qualche osservazione preliminare. Al tendere di x\to -\infty la funzione seno non ammette limite ma è comunque una quantità limitata nell'intervallo [-1,1]. Concordemente con i limiti fondamentali il termine esponenziale 3^{x} tende a 0 per x\to -\infty mentre 2^{-x}\to_{x\to -\infty} +\infty e rappresenta un infinito di ordine superiore rispetto alla potenza x^3.

    Tali osservazioni ci permettono di esprimere il limite nella forma equivalente

    =\lim_{x\to -\infty}\frac{2^{-x}}{x}=-\infty

    Osserviamo che il risultato è -\infty perché l'esponenziale è un infinito di ordine superiore rispetto ad x, ossia

    x<<2^{-x} \ \ \ \mbox{ per }x\to -\infty

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
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