Equazione complessa con confronto tra moduli
Avrei bisogno del vostro aiuto per studiare un'equazione con i moduli di numeri complessi. Secondo il risultato otterrò un luogo geometrico del piano di Argand Gauss e più precisamente una circonferenza, io però non ho capito come si fa a determinare la sua equazione.
Determinare l'insieme delle soluzioni complesse della seguente equazione
Grazie.
Per calcolare le soluzioni dell'equazione complessa
scriviamo in forma algebrica: detti
rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di
, allora
dove e
è l'unità immaginaria.
Sostituiamo nell'equazione e svolgiamo i calcoli
A questo punto sfruttiamo la definizione di modulo di un numero complesso
ed eleviamo al quadrato a destra e a sinistra così da cancellare le radici quadrate
Una volta sviluppato il quadrato di binomio al primo membro e svolta la moltiplicazione al secondo, l'equazione diventa
Trasportando infine al primo membro otteniamo l'equazione del luogo geometrico dei punti del piano di Argand-Gauss che soddisfano quella iniziale:
Cambiamo i segni e dividiamo ciascun termine per così da ricondurci all'equazione della circonferenza
Indicati con rispettivamente il coefficiente del termine in
, quello del termine in
e il termine noto, posto cioè:
siamo in grado di calcolare sia le coordinate del centro sia il raggio della circonferenza: basta infatti usare le seguenti formule di geometria analitica:
Possiamo concludere che l'equazione
individua tutti i punti del piano di Argand-Gauss che compongono la circonferenza di equazione
Abbiamo finito!
Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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