Per calcolare le soluzioni dell'equazione complessa
scriviamo
in forma algebrica: detti
rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di
, allora
dove
e
è l'unità immaginaria.
Sostituiamo
nell'equazione e svolgiamo i calcoli
A questo punto sfruttiamo la definizione di modulo di un numero complesso
ed eleviamo al quadrato a destra e a sinistra così da cancellare le radici quadrate
Una volta sviluppato il quadrato di binomio al primo membro e svolta la moltiplicazione al secondo, l'equazione diventa
Trasportando infine al primo membro otteniamo l'equazione del luogo geometrico dei punti del piano di Argand-Gauss che soddisfano quella iniziale:
Cambiamo i segni e dividiamo ciascun termine per
così da ricondurci all'equazione della circonferenza
Indicati con
rispettivamente il coefficiente del termine in
, quello del termine in
e il termine noto, posto cioè:
siamo in grado di calcolare sia le coordinate del centro sia il raggio della circonferenza: basta infatti usare le seguenti formule di geometria analitica:
Possiamo concludere che l'equazione
individua tutti i punti
del piano di Argand-Gauss che compongono la circonferenza di equazione
Abbiamo finito!
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