Equazione complessa con confronto tra moduli

Avrei bisogno del vostro aiuto per studiare un'equazione con i moduli di numeri complessi. Secondo il risultato otterrò un luogo geometrico del piano di Argand Gauss e più precisamente una circonferenza, io però non ho capito come si fa a determinare la sua equazione.

Determinare l'insieme delle soluzioni complesse della seguente equazione

|z+2i| = 2|z|

Grazie.

Domanda di WhiteCell
Soluzione

Per calcolare le soluzioni dell'equazione complessa

|z+2i| = 2|z|

scriviamo z in forma algebrica: detti x e y rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di z, allora

z = x+iy

dove x,y∈R e i è l'unità immaginaria.

Sostituiamo z = x+iy nell'equazione e svolgiamo i calcoli

 |x+iy+2i| = 2|x+iy| ; |x+i(y+2)| = 2|x+iy|

A questo punto sfruttiamo la definizione di modulo di un numero complesso

√(x^2+(y+2)^2) = 2√(x^2+y^2)

ed eleviamo al quadrato a destra e a sinistra così da cancellare le radici quadrate

x^2+(y+2)^2 = 4(x^2+y^2)

Una volta sviluppato il quadrato di binomio al primo membro e svolta la moltiplicazione al secondo, l'equazione diventa

x^2+y^2+4y+4 = 4x^2+4y^2

Trasportando infine al primo membro otteniamo l'equazione del luogo geometrico dei punti del piano di Argand-Gauss che soddisfano quella iniziale:

−3x^2−3y^2+4y+4 = 0

Cambiamo i segni e dividiamo ciascun termine per 3 così da ricondurci all'equazione della circonferenza

x^2+y^2−(4)/(3)y−(4)/(3) = 0

Indicati con a,b,c rispettivamente il coefficiente del termine in x, quello del termine in y e il termine noto, posto cioè:

a = 0 ; b = −(4)/(3) ; c = −(4)/(3)

siamo in grado di calcolare sia le coordinate del centro sia il raggio della circonferenza: basta infatti usare le seguenti formule di geometria analitica:

 C(x_(C),y_(C)) = (−(a)/(2),−(b)/(2)) = (0,(2)/(3)) ; R = √((a^2)/(4)+(b^2)/(4)−c) = √(0+(4)/(9)+(4)/(3)) = √((16)/(9)) = (4)/(3)

Possiamo concludere che l'equazione

|z+2i| = 2|z|

individua tutti i punti z = x+iy del piano di Argand-Gauss che compongono la circonferenza di equazione

x^2+y^2−(4)/(3)y−(4)/(3) = 0

Abbiamo finito!

Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
Ultima modifica:

Domande della categoria Università - Analisi Matematica
Esercizi simili e domande correlate