Equazione complessa con confronto tra moduli

  1. Home
  2. Domande e Risposte
  3. Università - Analisi

Avrei bisogno del vostro aiuto per studiare un'equazione con i moduli di numeri complessi. Secondo il risultato otterrò un luogo geometrico del piano di Argand Gauss e più precisamente una circonferenza, io però non ho capito come si fa a determinare la sua equazione.

 

Determinare l'insieme delle soluzioni complesse della seguente equazione

 

|z+2i| = 2|z|

 

Grazie.

Domanda di WhiteCell

 
Soluzioni

  • Per calcolare le soluzioni dell'equazione complessa

    |z+2i| = 2|z|

    scriviamo z in forma algebrica: detti x e y rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di z, allora

    z = x+iy

    dove x,y∈R e i è l'unità immaginaria.

    Sostituiamo z = x+iy nell'equazione e svolgiamo i calcoli

    |x+iy+2i| = 2|x+iy| ; |x+i(y+2)| = 2|x+iy|

    A questo punto sfruttiamo la definizione di modulo di un numero complesso

    √(x^2+(y+2)^2) = 2√(x^2+y^2)

    ed eleviamo al quadrato a destra e a sinistra così da cancellare le radici quadrate

    x^2+(y+2)^2 = 4(x^2+y^2)

    Una volta sviluppato il quadrato di binomio al primo membro e svolta la moltiplicazione al secondo, l'equazione diventa

    x^2+y^2+4y+4 = 4x^2+4y^2

    Trasportando infine al primo membro otteniamo l'equazione del luogo geometrico dei punti del piano di Argand-Gauss che soddisfano quella iniziale:

    -3x^2-3y^2+4y+4 = 0

    Cambiamo i segni e dividiamo ciascun termine per 3 così da ricondurci all'equazione della circonferenza

    x^2+y^2-(4)/(3)y-(4)/(3) = 0

    Indicati con a,b,c rispettivamente il coefficiente del termine in x, quello del termine in y e il termine noto, posto cioè:

    a = 0 ; b = -(4)/(3) ; c = -(4)/(3)

    siamo in grado di calcolare sia le coordinate del centro sia il raggio della circonferenza: basta infatti usare le seguenti formule di geometria analitica:

    C(x_(C),y_(C)) = (-(a)/(2),-(b)/(2)) = (0,(2)/(3)) ; R = √((a^2)/(4)+(b^2)/(4)-c) = √(0+(4)/(9)+(4)/(3)) = √((16)/(9)) = (4)/(3)

    Possiamo concludere che l'equazione

    |z+2i| = 2|z|

    individua tutti i punti z = x+iy del piano di Argand-Gauss che compongono la circonferenza di equazione

    x^2+y^2-(4)/(3)y-(4)/(3) = 0

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
Le più lette
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Analisi Matematica