Equazione complessa con confronto tra moduli

Question

Avrei bisogno del vostro aiuto per studiare un'equazione con i moduli di numeri complessi. Secondo il risultato otterrò un luogo geometrico del piano di Argand Gauss e più precisamente una circonferenza, io però non ho capito come si fa a determinare la sua equazione. Determinare l'insieme delle soluzioni complesse della seguente equazione |z+2i| = 2|z| Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Per calcolare le soluzioni dell'equazione complessa

scriviamo in forma algebrica: detti rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di , allora

dove e è l'unità immaginaria.

Sostituiamo nell'equazione e svolgiamo i calcoli

|x+iy+2i| = 2|x+iy| ; |x+i(y+2)| = 2|x+iy|

A questo punto sfruttiamo la definizione di modulo di un numero complesso

ed eleviamo al quadrato a destra e a sinistra così da cancellare le radici quadrate

Una volta sviluppato il quadrato di binomio al primo membro e svolta la moltiplicazione al secondo, l'equazione diventa

Trasportando infine al primo membro otteniamo l'equazione del luogo geometrico dei punti del piano di Argand-Gauss che soddisfano quella iniziale:

Cambiamo i segni e dividiamo ciascun termine per così da ricondurci all'equazione della circonferenza

Indicati con rispettivamente il coefficiente del termine in , quello del termine in e il termine noto, posto cioè:

siamo in grado di calcolare sia le coordinate del centro sia il raggio della circonferenza: basta infatti usare le seguenti formule di geometria analitica:

C(x_(C),y_(C)) = (−(a)/(2),−(b)/(2)) = (0,(2)/(3)) ; R = √((a^2)/(4)+(b^2)/(4)−c) = √(0+(4)/(9)+(4)/(3)) = √((16)/(9)) = (4)/(3)

Possiamo concludere che l'equazione

individua tutti i punti del piano di Argand-Gauss che compongono la circonferenza di equazione

Abbiamo finito!