Integrale indefinito da calcolare per parti

Question

Ho iniziato da poco lo studio degli integrali da risolvere con il metodo di integrazione per parti di cui ho imparato la formula. C'è solo un problema: non riesco a svolgere gli esercizi. Potreste aiutarmi a risolvere, ad esempio, l'integrale del prodotto tra un polinomio e un logaritmo? Calcolare il seguente integrale indefinito ∫ 2xln(x-1) ,dx Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Per calcolare l'integrale indefinito ∫ 2xln(x-1) ,dx dobbiamo necessariamente ricorrere alla formula di integrazione per parti ∫ f(x)g'(x) ,dx = f(x)g(x)-∫ f'(x)g(x) ,dx in cui f'(x) è la derivata di f(x) mentre g(x) è una primitiva di g'(x). Chiaramente dobbiamo essere abbastanza furbi da scegliere f(x) e g'(x) in modo che la prima sia semplice da derivare e la seconda semplice da integrare. In questo caso la scelta è praticamente obbligata: f(x) è la funzione logaritmica, mentre g'(x) è la funzione polinomiale! ; f(x) = ln(x-1) → f'(x) = (1)/(x-1) ; e ; g'(x) = 2x → g(x) = 2·(x^2)/(2) = x^2 In virtù della formula di integrazione per parti, abbiamo che ; ∫ 2xln(x-1) ,dx = x^2ln(x-1)-∫(1)/(x-1)·x^2 ,dx = x^2ln(x-1)-∫(x^2)/(x-1) ,dx Per risolvere l'integrale della funzione razionale sottraiamo e aggiungiamo 1 al numeratore dell'integranda = x^2ln(x-1)-∫(x^2-1+1)/(x-1) ,dx = scomponiamo la differenza di quadrati = x^2ln(x-1)-∫((x-1)(x+1)+1)/(x-1) ,dx = dopodiché distribuiamo in maniera furba il denominatore ; = x^2ln(x-1)-∫[((x-1)(x+1))/(x-1)+(1)/(x-1)] ,dx = x^2ln(x-1)-∫[x+1+(1)/(x-1)] ,dx = Sfruttiamo la linearità dell'integrale così da spezzare l'integrale della somma nella somma degli integrali dei singoli addendi = x^2ln(x-1)-(∫ x ,dx+∫ 1 ,dx+∫(1)/(x-1) ,dx) = Risolviamo i tre integrali elementari = x^2ln(x-1)-((x^2)/(2)+x+ln(|x-1|))+c = e notiamo che per x > 1, |x-1| = x-1, pertanto il risultato si semplifica ulteriormente in ; = x^2ln(x-1)-(x^2)/(2)-x-ln(x-1)+c = (x^2-1)ln(x-1)-(x^2)/(2)-x+c In definitiva ∫ 2xln(x-1) ,dx = (x^2-1)ln(x-1)-(x^2)/(2)-x+c È fatta!