Risoluzione di un limite con taylor

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Come si risolve questo limite usando gli sviluppi di Taylor? È il settimo limite di questo link: esercizi di riepilogo sui limiti Advanced scheda 1.

 

lim_(x → 0)((arcsin(x))^2+ln((1-sin^2(x))))/(cos^2(x)-1)

 

Grazie in anticipo!

Domanda di Luigi2110

 
Soluzioni

  • Per calcolare il limite

    lim_(x → 0)((arcsin(x))^2+ln(1-sin^2(x)))/(cos^2(x)-1)

    sostituiamo il denominatore con l'equivalente asintotico derivante dal limite notevole del coseno:

    cos^2(x)-1 = (cos(x)-1)(cos(x)+1) ~ _(x → 0)-(1)/(2)x^2·2 = -x^2

    Per il numeratore abbiamo bisogno degli sviluppi in serie di Taylor, in particolare ci servono

    - lo sviluppo notevole dell'arcoseno arrestato al terzo ordine

    arcsin(x) = x+(x^3)/(6)+o(x^3)

    - lo sviluppo notevole associato alla funzione seno arrestato al terzo ordine

    sin(x) = x-(x^3)/(6)+o(x^3)

    Mediante le espansioni notevoli possiamo esprimere quelli associati al quadrato dell'arcoseno e al quadrato del seno

    arcsin^2(x) = (x+(x^3)/(6)+o(x^3))^2 ; sin^2(x) = (x-(x^3)/(6)+o(x^3))^2

    Consideriamo il quadrato dell'arcoseno e sviluppiamo il quadrato di trinomio

    arcsin^2(x) = x^2+(x^4)/(3)+(x^6)/(36)+2xo(x^3)+(1)/(3)x^3o(x^3)+(o(x^3))^2 =

    che grazie alle proprietà degli o-piccolo diviene

    = x^2+(x^4)/(3)+(x^6)/(36)+o(x^4)+o(x^6)+o(x^6) =

    e in accordo con la proprietà relativa alla somma degli o-piccolo otteniamo che l'unico o-piccolo che rimane è o(x^4)

    = x^2+(x^4)/(3)+(x^6)/(36)+o(x^4) =

    pertanto dobbiamo trascurare il termine con esponente 6

    = x^2+(x^4)/(3)+o(x^4)

    Facciamo lo stesso con il quadrato del seno

    sin^2(x) = x^2-(x^4)/(3)+(x^6)/(36)+2xo(x^3)-(1)/(3)x^3o(x^3)+(o(x^3))^2 = x^2-(x^4)/(3)+(x^6)/(36)+o(x^4)+o(x^6)+o(x^6) = x^2-(x^4)/(3)+o(x^4)

    Ora abbiamo bisogno dello sviluppo di Mc Laurin della funzione logaritmica

    ln(1+t) = t-(t^2)/(2)+(t^3)/(3)-(t^4)/(4)+o(t^4)

    mediante la quale possiamo ottenere l'espansione del termine ln(1-sin^2(x)), rimpiazzando al posto di t il termine -sin^2(x)

    ln(1-sin^2(x)) = -sin^2(x)-(sin^4(x))/(2)-(sin^6(x))/(3)-(sin^8(x))/(4)+o(sin^8(x)) = (•)

    Ora sostituiamo ad ogni occorrenza del seno il proprio sviluppo e osserviamo che il primo termine è proprio

    sin^2(x) = x^2-(x^4)/(3)+o(x^4)

    da cui si evince che l'o-piccolo della potenza di x con esponente minore è 4, dunque tutti i termini che hanno esponente maggiore di 4 vanno obbligatoriamente trascurati

    (•) = -x^2-(x^4)/(6)+o(x^4)

    Sostituendo il tuto nel limite troviamo:

    lim_(x → 0)((arcsin(x))^2+ln(1-sin^2(x)))/(cos^2(x)-1) = lim_(x → 0)(x^2+(x^4)/(3)-x^2-(x^4)/(6)+o(x^4))/(-x^2) = lim_(x → 0)((x^4)/(6)+o(x^4))/(-x^2) =

    Raccogliamo x^4 al numeratore e semplifichiamo

    = lim_(x → 0)(x^4((1)/(6)+o(1)))/(-x^2) = lim_(x → 0)x^2((1)/(6)+o(1)) = 0

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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