Soluzioni
  • Per calcolare il limite

    \lim_{x\to0}\frac{(\arcsin(x))^2+\ln(1-\sin^2(x))}{\cos^2(x)-1}

    sostituiamo il denominatore con l'equivalente asintotico derivante dal limite notevole del coseno:

    \cos^2(x)-1=(\cos(x)-1)(\cos(x)+1)\sim_{x\to0}-\frac{1}{2}x^2\cdot 2=-x^2

    Per il numeratore abbiamo bisogno degli sviluppi in serie di Taylor, in particolare ci servono

    - lo sviluppo notevole dell'arcoseno arrestato al terzo ordine

    \arcsin(x)=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)

    - lo sviluppo notevole associato alla funzione seno arrestato al terzo ordine

    \sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)

    Mediante le espansioni notevoli possiamo esprimere quelli associati al quadrato dell'arcoseno e al quadrato del seno

    \\ \arcsin^2(x)=\left(x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)^2 \\ \\ \\ \sin^2(x)=\left(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)^2

    Consideriamo il quadrato dell'arcoseno e sviluppiamo il quadrato di trinomio

    \arcsin^2(x)=x^2+\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{36}+2xo(x^3)+\frac{1}{3}x^3o(x^3)+(o(x^3))^2=

    che grazie alle proprietà degli o-piccolo diviene

    =x^2+\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{36}+o(x^4)+o(x^6)+o(x^6)=

    e in accordo con la proprietà relativa alla somma degli o-piccolo otteniamo che l'unico o-piccolo che rimane è o(x^4)

    =x^2+\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{36}+o(x^4)=

    pertanto dobbiamo trascurare il termine con esponente 6

    =x^2+\frac{x^4}{3}+o(x^4)

    Facciamo lo stesso con il quadrato del seno

    \\ \sin^2(x)=x^2-\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{36}+2xo(x^3)-\frac{1}{3}x^3o(x^3)+(o(x^3))^2= \\ \\ \\ =x^2-\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{36}+o(x^4)+o(x^6)+o(x^6)= \\ \\ \\ =x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)

    Ora abbiamo bisogno dello sviluppo di Mc Laurin della funzione logaritmica

    \ln(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}-\frac{t^4}{4}+o(t^4)

    mediante la quale possiamo ottenere l'espansione del termine \ln(1-\sin^2(x)), rimpiazzando al posto di t il termine -\sin^2(x)

    \ln(1-\sin^2(x))=-\sin^2(x)-\frac{\sin^4(x)}{2}-\frac{\sin^6(x)}{3}-\frac{\sin^8(x)}{4}+o(\sin^8(x))=(\bullet)

    Ora sostituiamo ad ogni occorrenza del seno il proprio sviluppo e osserviamo che il primo termine è proprio

    \\ \sin^2(x)=x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)

    da cui si evince che l'o-piccolo della potenza di x con esponente minore è 4, dunque tutti i termini che hanno esponente maggiore di 4 vanno obbligatoriamente trascurati

    (\bullet)=-x^2-\frac{x^4}{6}+o(x^4)

    Sostituendo il tuto nel limite troviamo:

    \\ \lim_{x\to0}\frac{(\arcsin(x))^2+\ln(1-\sin^2(x))}{\cos^2(x)-1}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to0}\frac{x^2+\frac{x^4}{3}-x^2-\frac{x^4}{6}+o(x^4)}{-x^2}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^4}{6}+o(x^4)}{-x^2}=

    Raccogliamo x^4 al numeratore e semplifichiamo

    =\lim_{x\to0}\frac{x^4\left(\frac{1}{6}+o(1)\right)}{-x^2}=\lim_{x\to0}x^2\left(\frac{1}{6}+o(1)\right)=0

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
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