Soluzioni
  • Ciao Stefania93, arrivo a risponderti...

    (l'urgente non serve Wink)

    Risposta di Omega
  • Per studiare il carattere della serie

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{(n+1001)^2\arctan{(n)}}{(n+1)^3\sqrt{n}}}

    studiamo il comportamento del termine generale della serie al tendere di n\to +\infty e applichiamo poi il criterio del confronto asintotico.

    Al tendere di n\to +\infty risulta che

    (n+1001)^2\sim n^2

    \arctan{(n)}\sim \frac{\pi}{2}

    (n+1)^3\sim n^3

    per cui al tendere di n\to +\infty il termine generale è asintoticamente equivalente a

    \frac{\frac{\pi}{2}n^2}{n^3n^{\frac{1}{2}}}

    cioè

    \frac{\pi}{2}n^{2-3-\frac{1}{2}}=\frac{\pi}{2}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}

    ossia la serie considerata ha termine generale che è dello stesso ordine, al tendere di n\to +\infty, di

    \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}

    che è il termine generale della serie armonica generalizzata. Dato che l'esponente del denominatore è maggiore di 1, la precedente serie converge.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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