Cateti di un triangolo rettangolo

Question

Ho un problema sui cateti del triangolo rettangolo che non riesco a risolvere, in teoria dovrei utilizzare le equazioni di secondo grado. Il testo dell'esercizio dice: in un triangolo rettangolo l'ipotenusa è lunga 3 cm mentre il perimetro minura (5+√(5)) cm. Calcola le misure degli altri due cateti.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Il problema fornisce sia il perimetro, 2p che la misura dell'ipotenusa, che indichiamo con idel triangolo rettangolo. Scriviamo i dati i = 3 cm ; 2p = (5+√(5)) cm Il nostro obiettivo è determinare la misura dei cateti del triangolo rettangolo. Teniamo a portata di mano le formule sul triangolo rettangolo, ci serviranno per portare a termine l'esercizio. Chiamiamo c_1 e c_2 i cateti del triangolo. Una relazione tra i due cateti ce la fornisce la formula del perimetro: c_1+c_2+i = 2p da cui ; c_1+c_2 = 2p-i ; c_1+c_2 = 2+√(5) La seconda relazione ce la fornisce il teorema di Pitagora ; c_1^2+c_2^2 = i^2 ; c_1^2+c_2^2 = 9 Le misure dei cateti devono soddisfare entrambe le relazioni, e questo ci permette di costruire il sistema c_1+c_2 = 2+√(5) ; c_1^2+c_2^2 = 9 Procediamo per sostituzione, dalla prima equazione calcoliamo c_1 e sostituiamo nella seconda equazione così da ottenere c_1 = 2+√(5)-c_2 ; (2+√(5)-c_2)^2+c_2^2 = 9 Poniamo per semplicità x = c_2 così che la seconda equazione diventi (2+√(5)-x)^2+x^2 = 9 Sviluppiamo il quadrato di trinomio: 4+5+x^2+4√(5)-4x-2√(5)x+x^2 = 9 Scriviamo l'equazione di secondo grado in forma normale 2x^2-2(2+√(5))x+4√(5) = 0 Calcoliamone il discriminante: ; Δ = b^2-4ac = (-2(2+√(5)))^2-4·2·4√(5) = 36-16√(5) = 4(9-4√(5)) Calcoliamo la radice quadrata del discriminante con le proprietà dei radicali √(Δ) = √(4(9-4√(5))) = 2√(9-4√(5)) = Non ci resta che semplificare con le formule sui radicali doppi: = 2 (√(5)-2) = 2√(5)-4 Possiamo trovare i valori di x ; x_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (2(2+√(5))±(2√(5)-4))/(4) = (4+2√(5)±(2√(5)-4))/(4) I valori saranno: x_1 = 2 ∨ x_2 = √(5) Abbiamo a disposizione due valori accettabili per il cateto c_2: Se c_2 = 2 allora c_1 = 2+√(5)-2 = √(5) Se c_2 = √(5) allora c_1 = 2+√(5)-√(5) = 2 Pertanto i cateti misurano: ; c_1 = √(5) cm e c_2 = 2 cm ; c_1 = 2 cm e c_2 = √(5) cm Entrambe le coppie dei valori sono accettabili.