Soluzioni
  • Il problema fornisce sia il perimetro, 2p che la misura dell'ipotenusa, che indichiamo con idel triangolo rettangolo. Scriviamo i dati

    \begin{cases}i=3\mbox{ cm}\\ 2p=(5+\sqrt{5})\mbox{ cm}\end{cases}

    Il nostro obiettivo è determinare la misura dei cateti del triangolo rettangolo. Teniamo a portata di mano le formule sul triangolo rettangolo, ci serviranno per portare a termine l'esercizio. Chiamiamo c_1\mbox{ e }c_2 i cateti del triangolo.

    Una relazione tra i due cateti ce la fornisce la formula del perimetro:

    c_1+c_2+i=2p

    da cui

    \\ c_1+c_2=2p-i\\ \\ c_1+c_2=2+\sqrt{5}

    La seconda relazione ce la fornisce il teorema di Pitagora

    \\ c_1^2+c_2^2=i^2 \\ \\ c_1^2+c_2^2=9

    Le misure dei cateti devono soddisfare entrambe le relazioni, e questo ci permette di costruire il sistema

    \begin{cases}c_1+c_2=2+\sqrt{5}\\c_1^2+c_2^2=9\end{cases}

    Procediamo per sostituzione, dalla prima equazione calcoliamo c_1 e sostituiamo nella seconda equazione così da ottenere

    \begin{cases}c_1=2+\sqrt{5}-c_2\\ (2+\sqrt{5}-c_2)^2+c_2^2=9 \end{cases}

    Poniamo per semplicità x=c_2 così che la seconda equazione diventi

    (2+\sqrt{5}-x)^2+x^2=9

    Sviluppiamo il quadrato di trinomio:

    4+5+x^2+4\sqrt{5}-4x-2\sqrt{5}x+x^2=9

    Scriviamo l'equazione di secondo grado in forma normale

    2x^2-2(2+\sqrt{5})x+4\sqrt{5}=0

    Calcoliamone il discriminante:

    \\ \Delta=b^2-4ac=(-2(2+\sqrt{5}))^2-4\cdot 2\cdot 4\sqrt{5}=\\ \\=36-16\sqrt{5}=4(9-4\sqrt{5})

    Calcoliamo la radice quadrata del discriminante con le proprietà dei radicali

    \sqrt{\Delta}=\sqrt{4(9-4\sqrt{5})}=2\sqrt{9-4\sqrt{5}}=

    Non ci resta che semplificare con le formule sui radicali doppi:

    =2 (\sqrt{5}-2)=2\sqrt{5}-4

    Possiamo trovare i valori di x

    \\ x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2(2+\sqrt{5})\pm (2\sqrt{5}-4)}{4}=\\ \\=\frac{4+2\sqrt{5}\pm (2\sqrt{5}-4)}{4}

    I valori saranno:

    x_1=2\vee x_2=\sqrt{5}

    Abbiamo a disposizione due valori accettabili per il cateto c_2:

    Se c_2=2 allora c_1=2+\sqrt{5}-2=\sqrt{5}

    Se c_2=\sqrt{5} allora c_1=2+\sqrt{5}-\sqrt{5}=2

    Pertanto i cateti misurano:

    \\ c_1=\sqrt{5}\mbox{ cm e }c_2=2\mbox{ cm}\\ \\ c_1=2\mbox{ cm e }c_2=\sqrt{5}\mbox{ cm}

    Entrambe le coppie dei valori sono accettabili.

    Risposta di Ifrit
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