Soluzioni
  • Ciao xeltonx arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • grazie lfrit :)

    Risposta di xeltonx
  • Scusami xeltonx ma sul vettore w4 non sappiamo nulla Embarassed. :D

     

    Risposta di Ifrit
  • oddio scusa....nn c'è il w4, non considerarlo l'ho scritto per sbaglio

    Risposta di xeltonx
  • Per prima cosa determiniamo una base di U e per farlo scriviamo la matrice dei generatori per colonna 

    \begin{pmatrix}0&1\\-2&2\\1&1\\2&2\end{pmatrix}

    Riducendo con Gauss, otterremo:

    \begin{pmatrix}-2&2\\0&1\\0&0\\0&0\end{pmatrix}

    Quindi i vettori in questione sono anche base del sottospazio U.

    La dimensione del sottospazio è quindi due, perché generato da due vettori linearmente indipendenti (si vedeva pure ad' occhio :P)

     

    Per quanto riguarda W procediamo alla stessa maniera:

    \begin{pmatrix}-3&1&2\\ -2&1&-2\\5&2&3\\ 3&4&2\end{pmatrix}

     

    Riducendo con Gauss scopri che la matrice ha tre pivot quindi i vettori costituiscono una base per W. W ha dimensione 3 perché generato da tre vettori linearmente indipendenti.

    Calcoliamo ora la base dello spazio somma:

    U+V=\langle u_1, u_2, w_1, w_2, w_3\rangle

    Cioè è generato dai vettori che generano U e W.

    Determiniamo la base e quindi la dimensione:

    \begin{pmatrix}0&1&-3&1&2\\-2&2&-2&1&-2\\1&1&5&2&3\\2&2&3&4&2\end{pmatrix}

    Riducendo con Gauss otterrai che la matrice ha 4 pivot, quindi il sottospazio somma ha dimensione 4 e coincide con tutto lo spazio vettoriale di partenza, una possibile base è la base canonica dello spazio:

    B_{U+V}= {e_1, e_2, e_3, e_4}

    Per la formula di Grassmann abbiamo che:

    \mbox{dim}(U\cap W)= \mbox{dim}(U)+\mbox{dim}(W)-\mbod{dim}(U+V)=

    = 2+3-4= 1

    Il sottospazio intersezione avrà quindi una base composta da un solo vettore :)

    Ora un vettore z che appartiene all'intersezione deve essere espresso come combinazione lineare delle basi dei rispettivi sottospazi:

    z\in U\iff z= a u_1+b u_2

    z\in W\iff z= c w_1+d w_2+e w_3

    Ora

    z_U= \begin{pmatrix}b\\ -2a+2b\\a+b\\ 2a+2b\end{pmatrix}

    mentre

    z_W= \begin{pmatrix}-3c+d+2e\\-2c+d-2e\\5c+2d+3e\\3c+4d+2e\end{pmatrix}

     

    Uguagliando le espressioni otteniamo:

    z_U= z_W\iff

     

    \begin{cases}b= -3c+d+2e\\-2a+2b=-2c+d-2e\\ a+b=5c+2d+3e\\2a+2b=3c+4d+2e\end{cases}

     

    Portando tutto al primo membro stando attenti ai segni otteniamo il sistema:

     

    \begin{cases}b+3c-d-2e=0\\-2a+2b+2c-d+2e=0\\ a+b-5c-2d-3e=0\\2a+2b-3c-4d-2e=0\end{cases}

     

    La matrice completa associata è:

    \begin{pmatrix}0&1&3&-1&-2&|&0\\ -2&2&2&-1&2&|&0\\ 1&1&-5&-2&-3&|&0\\ 2&2&-3&-4&-2&|&0\end{pmatrix}

     

    Risolvendo con Gauss otterrai:

    \begin{pmatrix}\frac{83}{108}d\\ 67/54 d\\ -1/27 d\\7/108 d\end{pmatrix}

     

    La base dell'intersezione è:

    B_{U\cap W}=\left\{\begin{pmatrix}\frac{83}{108}\\67/54\\-1/27\\7/108\end{pmatrix}\right\}

     

    Ora probabilmente ci saranno errori di conto.... Ma il ragionamento da seguire dovrebbe essere questo :)

    Mamma mia che faticaccia :(

    Risposta di Ifrit
  • ahahaha grazie lfrit....chissà i colpi che mi hai mandato :P !!!

    Grazie mille!

    Risposta di xeltonx
 
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