Equazione a variabili separabili con esponenziale

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Domani ho simulazione di terza prova di matematica sulle equazioni differenziali a variabili separabili, ma oggi il professore era assente per cui non abbiamo fatto ripasso però ha lasciato questi esercizi:

 

y'=xe^{-y}

 

[Edit - Tutti gli altri esercizi vengono rimossi]

Domanda di Feda.Kira

 
Soluzioni

  • Nessun problema, figurati Wink

    L'equazione differenziale

    y'=xe^{-y}

    è a variabili separabili: possiamo portare la funzione y(x) a sinistra dell'uguale e lasciare a destra tutti i termini in x

    \frac{y'}{e^{-y}}=x

    cioè

    e^{y}y'=x

    A questo punto riscriviamo la derivata nella forma

    y'=\frac{dy}{dx}

    e quindi

    e^{y}\frac{dy}{dx}=x

    e^{y}dy=xdx

    Integriamo entrambi i membri rispetto alle relative variabili

    \int{e^{y}dy}=\int{xdx}

    da cui ricaviamo (sono entrambi integrali elementari)

    e^{y}=\frac{x^2}{2}+cost

    Applichiamo il logaritmo naturale ad entrambi i membri

    \ln{(e^{y})}=\ln{\left(\frac{x^2}{2}+cost\right)}

    e abbiamo finito

    y(x)=\ln{\left(\frac{x^2}{2}+cost\right)}

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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