Equazione a variabili separabili con esponenziale

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Domani ho simulazione di terza prova di matematica sulle equazioni differenziali a variabili separabili, ma oggi il professore era assente per cui non abbiamo fatto ripasso però ha lasciato questi esercizi:

 

y'= xe^(-y)

 

[Edit - Tutti gli altri esercizi vengono rimossi]

Domanda di Feda.Kira

 
Soluzioni

  • Nessun problema, figurati Wink

    L'equazione differenziale

    y'= xe^(-y)

    è a variabili separabili: possiamo portare la funzione y(x) a sinistra dell'uguale e lasciare a destra tutti i termini in x

    (y')/(e^(-y)) = x

    cioè

    e^(y)y'= x

    A questo punto riscriviamo la derivata nella forma

    y'= (dy)/(dx)

    e quindi

    e^(y)(dy)/(dx) = x

    e^(y)dy = xdx

    Integriamo entrambi i membri rispetto alle relative variabili

    ∫e^(y)dy = ∫xdx

    da cui ricaviamo (sono entrambi integrali elementari)

    e^(y) = (x^2)/(2)+cost

    Applichiamo il logaritmo naturale ad entrambi i membri

    ln((e^(y))) = ln(((x^2)/(2)+cost))

    e abbiamo finito

    y(x) = ln(((x^2)/(2)+cost))

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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