Parabola con fuoco e retta direttrice

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Ho questo problema in cui devo trovare l'equazione di una parabola conoscendo il fuoco e la retta direttrice, che non riesco a fare.

 

Determinare la parabola che ha per fuoco il punto F(-4;-6) e per direttrice la retta di equazione y = -10.

Domanda di Mindy

 
Soluzioni

  • Prima di cominciare è fondamentale avere sotto mano tutte le formule della parabola (click!).

    La parabola che cerchiamo è ad asse di simmetria verticale (lo si capisce dall'equazione della direttrice della parabola), dunque ha equazione della forma

    y = ax^2+bx+c

    Le coordinate del fuoco della parabola sono date da

    F = (-(b)/(2a),(1-Δ)/(4a))

    mentre l'equazione della direttrice è data da

    y = -(1+Δ)/(4a)

    In entrambi i casi Δ = b^2-4ac.

    Abbiamo tre condizioni per tre incognite: scriviamo allora un opportuno sistema che ci permetta di individuare univocamente i coefficienti a,b,c.

    -(b)/(2a) = -4 ; (1-Δ)/(4a) = -6 ;-(1+Δ)/(4a) = -10

    Cerchiamo di farci furbi nella risoluzione del sistema. Intanto lo riscriviamo nella forma

    b = 8a ; 1-b^2+4ac = -24a ; 1+b^2-4ac = 40a

    Nota che la seconda e la terza equazione hanno dei termini in comune, per cui ci conviene usare un metodo del tutto simile al metodo di riduzione per sistemi lineari (anche se il nostro sistema non è lineare).

    Sostituiamo la terza equazione con la somma tra la seconda e la terza

    b = 8a ; 1-b^2+4ac = -24a ; 2 = 16a

    A questo punto procediamo con il metodo di sostituzione

    a = (1)/(8) ; b = 1 ; 1-b^2+4ac = -24a → c = -6

    e in definitiva abbiamo scoperto che la parabola cercata è data da

    y = (x^2)/(8)+x-6

    Come puoi vedere usando il tool per risolvere la parabola online, tutto torna. ;)

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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