Problema sulla parabola e posizione di una retta

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Avrei questo problema sulla parabola da svolgere sulle possibili posizioni di una retta rispetto a una parabola. Vorrei sapere come risolverlo passo per passo, visto che non me la cavo in geometria analitica. Mi viene chiesto di: trovare l'equazione della parabola; stabilire la sua posizione rispetto a una retta; di scrivere l'equazione di una circonferenza di centro nel fuoco della parabola e di raggio dato. 

 

Trovare l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y che passa per i punti P(0,1) e Q(1,-1), ed ha il vertice sulla retta di equazione 2x-3 = 0.

 

Stabilire se la retta r di equazione x-y+2 = 0 è secante, esterna o tangente alla parabola.

 

Determinare inoltre l'equazione della circonferenza che ha il centro nel fuoco della parabola e raggio r = 3.

 

Grazie.

Domanda di braccobaldo

 
Soluzioni

  • Il problema è piuttosto strutturato e si compone di più punti. Ci chiede di: determinare l'equazione di una parabola; di stabilire la posizione reciproca tra la parabola e una retta; di ricavare l'equazione della circonferenza di centro nel vertice della parabola e di raggio fissato.

    Equazione della parabola

    Il primo punto del problema ci chiede di determinare l'equazione della parabola che passa per i punti

    P(x_P,y_P) = (0,1) e Q(x_Q,y_Q) = (1,-1)

    e ha vertice Vsulla retta s di equazione

    s : 2x-3 = 0

    Poiché il vertice appartiene alla retta s, le sue coordinate devono soddisfare l'equazione di s, cioè deve valere

    V(x_V,y_V)∈ s → 2x_V-3 = 0 → x_V = (3)/(2)

    L'ascissa del vertice deve essere

    x_V = (3)/(2)

    mentre l'ordinata di V è ancora incognita.

    Ricordiamo che l'equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate e di vertice V(x_V,y_V) può essere espressa come segue:

    Π : y = a(x-x_V)^2+y_V con a ne 0

    Sostituiamo x_V = (3)/(2)

    y = a(x-(3)/(2))^2+y_V

    e osserviamo che gli unici parametri da determinare sono a e y_V.

    Per ricavarli usiamo la condizione di appartenenza: un punto appartiene alla parabola se e solo se le sue coordinate soddisfano l'equazione della parabola

    P(x_P,y_P)∈ Π → y_P = a(x_P-(3)/(2))^2+y_(V)

    da cui, se sostituiamo le coordinate di P, ricaviamo:

    1 = a(0-(3)/(2))^2+y_V ; (9)/(4)a+y_V = 1

    Semplifichiamo l'equazione moltiplicando i due membri per 4

    9a+4y_V = 4

    e teniamola da parte.

    Imponiamo il passaggio della parabola per il punto Q

    Q(x_Q,y_Q)∈Π → y_(Q) = a(x_Q-(3)/(2))^2+y_V

    Sostituiamo x_Q = 1, y_Q = -1

    -1 = a(1-(3)/(2))^2+y_V

    e svolgiamo i calcoli

    -1 = a(-(1)/(2))^2+y_V ;-1 = (1)/(4)a+y_V ; (1)/(4)a+y_V = -1

    Se moltiplichiamo i due membri per 4, l'equazione si semplifica in:

    a+4y_V = -4

    Le relazioni

    9a+4y_V = 4 ; e ; a+4 y_V = -4

    devono valere contemporaneamente, perciò costituiscono il seguente sistema lineare nelle incognite a e y_V

    9a+4y_V = 4 ; a+4 y_V = -4

    Per ricavarne le soluzioni procediamo con il metodo di sostituzione.

    Isoliamo a nella seconda equazione

    9a+4y_V = 4 ; a = -4 y_V-4

    e sostituiamo l'espressione ottenuta nella prima

    9(-4y_V-4)+4y_V = 4 ; a = -4 y_V-4

    Semplifichiamo la prima equazione e calcoliamone la soluzione

    -32y_V = 40 → y_V = -(40)/(32) = -(5)/(4) ; a = -4 y_V-4

    Sostituiamo infine y_V = -(5)/(4) e calcoliamo il valore di a

    y_V = -(5)/(4) ; a = -4 (-(5)/(4))-4 → a = 1

    Ora che conosciamo i valori di a e y_V possiamo scrivere l'equazione della parabola

    Π : y = 1·(x-(3)/(2))^2-(5)/(4) ; y = (x-(3)/(2))^2-(5)/(4)

    Chiaramente l'equazione si può semplificare ulteriormente: se sviluppiamo il quadrato di binomio

    y = x^2+(9)/(4)-3x-(5)/(4)

    e se sommiamo le frazioni, l'equazione diventa

    y = x^2-3x+1

     

    Problema su posizione retta-parabola

     

    Posizione reciproca retta-parabola

    Il secondo punto del problema chiede di stabilire la posizione della retta r, di equazione

    r : x-y+2 = 0

    rispetto alla parabola Π.

    Per studiare la posizione reciproca retta-parabola, impostiamo il sistema composto dall'equazione di r e da quella di Π

    Π ∩ r : x-y+2 = 0 ; y = x^2-3x+1

    dopodiché procediamo nuovamente per sostituzione.

    Sostituiamo y = x^2-3x+1 nella prima equazione

    x-(x^2-3x+1)+2 = 0 ; y = x^2-3x+1

    e svolgiamo i calcoli

    -x^2+4x-1 = 0 → x^2-4x+1 = 0 ; y = x^2-3x+1

    La relazione nella sola incognita x

    x^2-4x+1 = 0

    è l'equazione risolvente del sistema e, in base al segno del suo discriminante, possiamo concludere che:

    - se Δ > 0, il sistema ammette due soluzioni distinte e la retta è secante la parabola;

    - se Δ = 0, il sistema ammette una soluzione doppia e la retta è tangente la parabola;

    - se Δ < 0, il sistema è impossibile e la retta è esterna alla parabola.

    Nel caso in esame i coefficienti della risolvente sono

    a = 1 ; b = -4 ; c = 1

    per cui il delta associato è

    Δ = b^2-4ac = (-4)^2-4·1·1 = 12 > 0

    Poiché il discriminante è positivo possiamo concludere che la retta r è secante la parabola.

    Equazione della circonferenza

    L'ultimo punto del problema ci chiede di determinare l'equazione della circonferenza mathrmC di centro nel fuoco della parabola Π e di raggio r = 3.

    Per prima cosa calcoliamo il fuoco F con le formule

    F(x_F,y_F) = (-(b)/(2a), (1-(b^2-4ac))/(4a)) = (•)

    dove a,b,c sono i coefficienti dell'equazione di Π

    a = 1 ; b = -3 ; c = 1

    Sostituiamo i valori e svolgiamo i calcoli

    (•) = (-(-3)/(2·1), (1-((-3)^2-4·1·1))/(4·1)) = ((3)/(2), -1)

    Il fuoco della parabola, e quindi il centro della circonferenza, è

    F(x_F,y_F) = ((3)/(2), -1) = C(x_C,y_C)

    A questo punto non ci resta che scrivere l'equazione della circonferenza: conosciamo sia le coordinate del centro e la lunghezza del raggio:

    mathrmC : (x-x_(C))^2+(y-y_(C))^2 = r^2 ; (x-(3)/(2))^2+(y-(-1))^2 = 3^2 ; (x-(3)/(2))^2+(y+1)^2 = 9

    Se sviluppiamo i quadrati di binomio ed eseguiamo i calcoli che ne conseguono, ricaviamo la seguente equazione per la circonferenza:

    mathrmC : 4x^2+4y^2-12x+8y-23 = 0

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
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