Soluzioni
  • Ciao Braccobaldo, arrivo a risponderti...:)

    Risposta di Omega
  • Abbiamo tre condizioni: due condizioni di passaggio e una condizione sul vertice della parabola.

    Sappiamo che la parabola è ad asse di simmetria verticale, quindi ha generica equazione della forma

    y=ax^2+bx+c

    Tre condizioni per tre incognite: i coefficienti a,b,c dell'equazione della parabola.

    Le condizioni di passaggio le usiamo imponendo che le coordinate dei punti soddisfino l'equazione della parabola

    P=(0,1)\to 1=c

    Q=(1,-1)\to -1=a+b+c

    La condizione sul vertice ci dice che esso appartiene alla retta di equazione 2x-3=0, modo carino per dirci che l'ascissa del vertice vale x_V=3/2. Noi sappiamo che l'ascissa del vertice di una parabola ad asse verticale si calcola con la formula

    x_V=-\frac{b}{2a}

    e dunque la terza condizione ci dice che

    -\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}\to b=-3a

    Il sistema da risolvere è il seguente

    \left\{\begin{matrix}c=1\\ a+b+c=-1\\ b=-3a\end{matrix}

    Sostituendo la prima e la terza condizione nella seconda equazione

    \left\{\begin{matrix}c=1\\ a-3a+1=-1\\ b=-3a\end{matrix}

    otteniamo

    \left\{\begin{matrix}c=1\\ -2a=-2\\ b=-3a\end{matrix}

    cioè

    \left\{\begin{matrix}c=1\\ a=1\\ b=-3a\end{matrix}

    \left\{\begin{matrix}c=1\\ a=1\\ b=-3\end{matrix}

    L'equazione della parabola cercata è quindi

    y=x^2-3x+1

    Tutto chiaro fin qui?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Non mi trovo su questo passaggio:

    e dunque la terza condizione ci dice che

    -\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}\ \to\ b=-3a{/tex}

    Visto che l'equazione è 2x-3=0, allora b dovrebbe essere 0 perché la y non c'è e sotto dovrebbe venire 4, perché

    2a \to 2\cdot 2 \to 4

    Risposta di braccobaldo
  • Il fatto che il vertice (x_V,y_V) si trovi sulla retta di equazione 2x-3=0, che possiamo riscrivere nella forma

    x=\frac{3}{2}

    significa che l'ascissa del vertice deve avere quel valore: con questa informazione non abbiamo la più pallida idea di quale sia l'ordinata del vertice.

    Il vertice di una parabola ad asse di simmetria verticale ha coordinate che si calcolano come

    \left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)

    Queste coordinate devono soddisfare l'equazione della retta, perché è il testo a dirci che il vertice deve trovarsi sulla suddetta retta. Dunque

    2x_V-3=0

    da cui

    x_V=\frac{3}{2}

    e quindi

    -\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}

    Poi, per il resto, dobbiamo solamente effettuare un paio di passaggi algebrici

    2a\cdot \left(-\frac{b}{2a}\right)=\frac{3}{2}\cdot 2a

    ed è lecito moltiplicare entrambi i membri per 2a, perché per avere a che fare con una parabola deve necessariamente essere a\neq 0.

    -b=3a

    moltiplichiamo entrambi i membri per -1

    b=-3a

    Fammi sapere se hai ulteriori dubbi in merito a questa parte dell'esercizio, in caso contrario procediamo. A proposito, questo è il grafico della parabola 

    y=x^2-3x+1

     

    Grafico di una parabola

     

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ok fino a qui ci sono poi dopo aver trovato l'equazione della parabola .. ?

    Risposta di braccobaldo
  • Per la restante parte dell'esercizio...

    Per quanto riguarda la posizione della retta 

    x-y+2=0

    rispetto a quella della parabola, è sufficiente disegnare la retta nel piano cartesiano e così facendo si vede che parabola e retta si intersecano in due punti.

    Per quanto riguarda l'equazione della circonferenza che ha centro nel fuoco della parabola e raggio r=3, è sufficiente ricorrere alla generica equazione della circonferenza

    (x-x_F)^2+(y-y_F)^2=r^2

    dopo aver calcolato le coordinate del fuoco della parabola (x_F,y_F) con le formule

    x_F=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}

    y_F=\frac{1-\Delta}{4a}=\frac{1-b^2+4ac}{4a}=\frac{1-9+4}{4}=-1

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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