Soluzioni
  • Hai due modi di procedere per calcolare il rango di una matrice, che dipenda da un parametro oppure no:

    1) Il metodo di eliminazione gaussiana (facendo attenzione ed escludendo i valori del parametro che potrebbero annullare i divisori nell'applicazione della procedura). Dopo aver ridotto la matrice a scalini, il numero di pivot non nulli è il rango della matrice;

    2) Il criterio dei minori.

    Questa lettura

    https://www.youmath.it/forum/algebra-lineare/9495-come-trovare-il-rango-di-una-matrice.html

    è il punto di partenza per tutti gli esercizi simili che abbiamo svolto qui su YM, e per tutti i riferimenti teorici necessari.

    Namasté!

     

    Risposta di Omega
  • Posso vedere come lo risoveresti tu con i due metodi? (se chiedo troppo va bene solo con il criterio dei minori). Perchè io ho provato a risolverlo ma non mi esce il risultato che vuole il mio prof. (ho i vecchi temi d'esame con i risultati).

    Risposta di marco1
  • Ok :)

    Considera il minore 3x3 dato da

    \left[\begin{matrix}1&1&k\\ k&2k&1\\ 2&k+2&-2\end{matrix}\right]

    Se ne calcoliamo il determinante con la regola di Sarrus, otteniamo

    -4k+2+(k^2)(k+2)-4k^2+2k-(k+2)

    con qualche conticino

    k(k+1)(k-3)

    I valori di k che annullano tale determinante sono k=0,k=-1,k=3. Per tutti gli altri valori di k il rango della matrice è massimo, cioè pari a 3.

    Per i precedenti valori di k dobbiamo proseguire l'indagine.

    Per k=0

    \left[\begin{matrix}1&1&0\\ 0&0&1\\ 2&2&-2\end{matrix}\right]

    si vede che la matrice ha rango 2 perché la terza riga dipende linearmente dalle prime due, che sono linearmente indipendenti tra loro.

    Per k=3 riscrivendo la matrice si vede ad occhio che la terza riga dipende linearmente dalle prime due (può essere infatti ricavata come II-I)

    Per k=-1 se si riscrive la matrice

    \left[\begin{matrix}1&1&-1\\ -1&-2&1\\ 2&1&-2\end{matrix}\right]

    e si calcola il determinante del primissimo minore  di ordine 2. Essendo diverso da zero, concludiamo che la matrice ha rango 2.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Hai ragione, ho letto i risultati come un pollo! XD

    Grazie mille davvero!

    Risposta di marco1
 
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