Rango di una matrice al variare di k

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Sto affrontando un esercizio sul calcolo del rango di una matrice al variare del parametro reale k, ma non so come procedere. Potete aiutarmi?

 

Determinare il rango della matrice

 

A_k = [1 1 k ; k 2k 1 ; 2 k+2 -2]

 

al variare di k.

Domanda di marco1

 
Soluzioni

  • Prima di calcolare il rango della matrice

    A_k = [1 1 k ; k 2k 1 ; 2 k+2 -2]

    al variare di k ∈ R, ricordiamo che una matrice quadrata ha rango massimo se il suo determinante è non nullo.

    A_k è una matrice 3x3, per cui ha rango 3 se il relativo determinante è diverso da zero.

    Calcoliamo det(A_k) con la regola di Sarrus:

    det(A_k) = 1·2k·(-2)+1·1·2+k·k·(k+2)+;-[k·2k·2+1·k·(-2)+1·1·(k+2)] = -4k+2+k^3+2k^2-4k^2+2k-k-2 = k^3-2k^2-3k = k(k^2-2k-3)

    Imponiamo che sia nullo

    det(A_k) = 0 → k(k^2-2k-3) = 0

    Le soluzioni della precedente equazione, nonché i valori che annullano il determinante di A_k, sono

    k_1 = 0 ; k_2 = -1 ; k_2 = 3

    pertanto il rango di A_k è massimo per k ∈ R--1, 0, 3.

    Proseguiamo analizzando separatamente i valori di k che annullano det(A_k), ossia calcoliamo i ranghi delle matrici

    A_(0) = [1 1 0 ; 0 0 1 ; 2 2 -2] ; A_(-1) = [1 1 -1 ;-1 -2 1 ; 2 1 -2] ; A_3 = [1 1 3 ; 3 6 1 ; 2 5 -2]

    Tutte e tre hanno determinante pari a zero; in ciascuna è immediato individuare un minore non nullo di ordine 2, per cui

    rk(A_0) = rk(A_(-1)) = rk(A_3) = 2

    In definitiva:

    - se k ∈ R--1,0,3, il rango di A_k è 3;

    - se k ∈ -1,0,3, il rango di A_k è 2.

    Non c'è altro da aggiungere.

    Risposta di Galois
 
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