Soluzioni
  • Prima di calcolare il rango della matrice

    A_k=\begin{pmatrix}1&1&k \\ k&2k&1 \\ 2&k+2&-2\end{pmatrix}

    al variare di k \in \mathbb{R}, ricordiamo che una matrice quadrata ha rango massimo se il suo determinante è non nullo.

    A_k è una matrice 3x3, per cui ha rango 3 se il relativo determinante è diverso da zero.

    Calcoliamo \mbox{det}(A_k) con la regola di Sarrus:

    \\ \mbox{det}(A_k)=1 \cdot 2k \cdot (-2) + 1 \cdot 1 \cdot 2 + k \cdot k \cdot (k+2) + \\ \\ - [k \cdot 2k \cdot 2 + 1 \cdot k \cdot (-2) + 1 \cdot 1 \cdot (k+2)] = \\ \\ = -4k+2+k^3+2k^2-4k^2+2k-k-2= \\ \\ = k^3-2k^2-3k = k(k^2-2k-3)

    Imponiamo che sia nullo

    \mbox{det}(A_k)=0 \ \to \ k(k^2-2k-3)=0

    Le soluzioni della precedente equazione, nonché i valori che annullano il determinante di A_k, sono

    k_1=0 \ \ ; \ \ k_2=-1 \ \ ; \ \ k_2=3

    pertanto il rango di A_k è massimo per k \in \mathbb{R}-\{-1, 0, 3\}.

    Proseguiamo analizzando separatamente i valori di k che annullano \mbox{det}(A_k), ossia calcoliamo i ranghi delle matrici

    \\ A_{0}=\begin{pmatrix}1&1&0 \\ 0&0&1 \\ 2&2&-2\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ A_{-1}=\begin{pmatrix}1&1&-1 \\ -1&-2&1 \\ 2&1&-2\end{pmatrix} \\ \\ \\ A_3=\begin{pmatrix}1&1&3 \\ 3&6&1 \\ 2&5&-2\end{pmatrix}

    Tutte e tre hanno determinante pari a zero; in ciascuna è immediato individuare un minore non nullo di ordine 2, per cui

    \mbox{rk}(A_0)=\mbox{rk}(A_{-1})=\mbox{rk}(A_3)=2

    In definitiva:

    - se k \in \mathbb{R}-\{-1,0,3\}, il rango di A_k è 3;

    - se k \in \{-1,0,3\}, il rango di A_k è 2.

    Non c'è altro da aggiungere.

    Risposta di Galois
 
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