Esercizio nucleo e immagine di un'applicazione lineare da R^4 a R^3

Question

Ciao a tutti, volevo sapere un pò come si risolve questo esercizio, dato che non sono ancora tanto pratico con le applicazioni lineari perchè non ho capito bene come ci si muove in questo campo. Data l'applicazione lineare f: R^4->R^3, (x,y,z,t)->(x+y,y+z,z-x), scrivere una base di Kerf(nucleo di f) e una base di Imf(immagine di f). Grazie mille

Fulvio Sbranchella · Accepted Answer

Ciao Namis, è presto detto.

In primo luogo dobbiamo determinare la matrice A associata all'applicazione lineare

che è tale che

A·[x ; y ; z ; t ] = [x+y ; y+z ; z−x ]

quindi è una matrice 4x3, ed è data da

[1 1Â Â 0Â Â 0 ; 0Â Â 1Â Â 1Â Â 0 ;−1Â Â 0Â Â 1Â Â 0 ]

A questo punto possiamo calcolarne il nucleo, semplicemente risolvendo il sistema lineare

che poi è

α[0 ; 0 ; 0 ; 1]+β[−1 ; 1 ;−1 ; 0]

Con parametri reali.

Per l'immagine, considera i vettori della base canonica di e prendine le immagini mediante f:

che per un noto teorema è un sistema di generatori per l'immagine di f. Si tratta solo di prendere, tra questi generatori, il massimo numero di elementi linearmente indipendenti tra di loro. In questo modo determini una base dell'immagine.

Namasté - Agente