Soluzioni
  • Ciao Namis, è presto detto.

    In primo luogo dobbiamo determinare la matrice A associata all'applicazione lineare

    f:\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}^3

    che è tale che

    A\cdot \left[\begin{matrix}x \\ y \\ z \\ t \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}x+y \\ y+z \\ z-x \end{matrix}\right]

    quindi è una matrice 4x3, ed è data da

    \left[\begin{matrix}1 \mbox{ } 1 \mbox{ } 0 \mbox{ } 0 \\ 0 \mbox{ } 1 \mbox{ } 1 \mbox{ } 0 \\ -1 \mbox{ } 0 \mbox{ } 1 \mbox{ } 0 \end{matrix}\right]

    A questo punto possiamo calcolarne il nucleo, semplicemente risolvendo il sistema lineare

    A\cdot\underline{x}=\underline{0}

    che poi è

    \alpha\left[\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{matrix}\right]+\beta\left[\begin{matrix}-1 \\ 1 \\ -1 \\ 0\end{matrix}\right]

    Con \alpha\mbox{, }\beta parametri reali.

    Per l'immagine, considera i vettori della base canonica di \mathbb{R}^4 e prendine le immagini mediante f:

    Ae_{1}\mbox{, }Ae_{2}\mbox{, }Ae_{3}\mbox{, }Ae_{4}

    che per un noto teorema è un sistema di generatori per l'immagine di f. Si tratta solo di prendere, tra questi generatori, il massimo numero di elementi linearmente indipendenti tra di loro. In questo modo determini una base dell'immagine.

    Namasté - Agente \Omega

    Risposta di Omega
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