Soluzioni
  • Il nostro compito consiste nel determinare l'insieme delle soluzioni dell'equazione con valore assoluto

    (x+5)|x+5|+8+(x-5)^2=0

    e per farlo, possiamo avvalerci della tecnica standard che consiste nello studio del segno dell'espressione interna al modulo. Impostiamo quindi la disequazione di primo grado

    x+5\ge 0

    e risolviamola isolando l'incognita a sinistra

    x\ge -5

    Ricaviamo dunque che il binomio x+5 è:

    - positivo o nullo per x\ge -5;

    - negativo per x<-5.

    In base al segno dell'argomento, possiamo eliminare il valore assoluto seguendo la definizione: se l'argomento è positivo o nullo, il valore assoluto coincide con l'argomento; se invece è negativo, il modulo coincide con l'opposto dell'espressione che contiene. In termini matematici:

    \\ |x+5|=x+5 \ \ \ \mbox{se} \ x\ge -5 \\ \\ \mbox{mentre} \\ \\ |x+5|=-x-5\ \ \ \mbox{se} \ x<-5

    Possiamo quindi considerare separatamente i due casi

    x\ge -5 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ x<-5

    e risolvere le equazioni senza valore assoluto che ne conseguono.

    Sotto il vincolo x\ge -5, l'equazione si riscrive come

    (x+5)(x+5)+8+(x-5)^2=0

    e grazie alla definizione di potenza diventa

    (x+5)^2+8+(x-5)^2=0

    Questa equazione può essere analizzata senza svolgere alcun passaggio algebrico: possiamo semplicemente osservare che al primo membro troviamo una somma tra due quantità non negative, (x+5)^2 \ \mbox{e} \ (x-5)^2, e una costante positiva, 8, di conseguenza essa non potrà mai essere uguale a zero.

    In ogni caso possiamo tranquillamente sviluppare i quadrati di binomio e svolgere i calcoli

    x^2+10x+25+8+x^2-10x+25=0

    da cui, sommati i monomi simili

    2x^2+58=0

    Ci siamo ricondotti a un'equazione pura che come c'era d'aspettarsi è impossibile.

    Sotto il vincolo x<-5, l'equazione diventa invece

    (x+5)(-x-5)+8+(x-5)^2=0

    e una volta eseguite le varie operazioni, diventa

    \\ -x^2-10x-25+8+x^2-10x+25=0 \\ \\ 8-20x=0

    Si è ridotta a un'equazione di primo grado che fornisce il valore

    x=\frac{2}{5}

    il quale non è soluzione dell'equazione iniziale perché non soddisfa il vincolo x<-5.

    In definitiva, l'equazione con valore assoluto

    (x+5)|x+5|+8+(x-5)^2=0

    non ammette soluzioni, di conseguenza è impossibile e il suo insieme delle soluzioni coincide con l'insieme vuoto

    S=\emptyset

    Ecco fatto.

    Risposta di Ifrit
 
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