Equazione con valore assoluto di secondo grado

Il nostro compito consiste nel determinare l'insieme delle soluzioni dell'equazione con valore assoluto

e per farlo, possiamo avvalerci della tecnica standard che consiste nello studio del segno dell'espressione interna al modulo. Impostiamo quindi la disequazione di primo grado

e risolviamola isolando l'incognita a sinistra

Ricaviamo dunque che il binomio è:

- positivo o nullo per ;

- negativo per .

In base al segno dell'argomento, possiamo eliminare il valore assoluto seguendo la definizione: se l'argomento è positivo o nullo, il valore assoluto coincide con l'argomento; se invece è negativo, il modulo coincide con l'opposto dell'espressione che contiene. In termini matematici:

Possiamo quindi considerare separatamente i due casi

e risolvere le equazioni senza valore assoluto che ne conseguono.

Sotto il vincolo , l'equazione si riscrive come

e grazie alla definizione di potenza diventa

Questa equazione può essere analizzata senza svolgere alcun passaggio algebrico: possiamo semplicemente osservare che al primo membro troviamo una somma tra due quantità non negative, , e una costante positiva, 8, di conseguenza essa non potrà mai essere uguale a zero.

In ogni caso possiamo tranquillamente sviluppare i quadrati di binomio e svolgere i calcoli

da cui, sommati i monomi simili

Ci siamo ricondotti a un'equazione pura che come c'era d'aspettarsi è impossibile.

Sotto il vincolo , l'equazione diventa invece

e una volta eseguite le varie operazioni, diventa

Si è ridotta a un'equazione di primo grado che fornisce il valore

il quale non è soluzione dell'equazione iniziale perché non soddisfa il vincolo .

In definitiva, l'equazione con valore assoluto

non ammette soluzioni, di conseguenza è impossibile e il suo insieme delle soluzioni coincide con l'insieme vuoto

Ecco fatto.