Dominio di una funzione logaritmica sotto radice quadrata

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Potreste aiutarmi a calcolare il dominio di una funzione con radice e logaritmo? Ho riscontrato delle difficoltà nella risoluzione perché compare un parametro reale e sinceramente non so proprio come comportarmi.

 

Calcolare il dominio della funzione

 

f(x) = √(log_(a)(2x+1)+log_(a)(1-x))

 

al variare del parametro reale a > 1.

Domanda di Federica90

 
Soluzioni

  • Per determinare il dominio della funzione

    f(x) = √(log_(a)(2x+1)+log_(a)(1-x))

    dobbiamo richiedere che sussistano le seguenti condizioni:

    - gli argomenti dei logaritmi devono essere maggiori di zero, vale a dire

    2x+1 > 0 e 1-x > 0

    - il radicando della radice con indice pari dev'essere non negativo, cioè deve valere la disequazione logaritmica

    log_(a)(2x+1)+log_(a)(1-x) ≥ 0 con a > 1

    Prima di procedere, è fondamentale sottolineare che per 2x+1 > 0 e per 1-x > 0 la proprietà sulla somma di logaritmi permette di scrivere la disequazione logaritmica nella forma equivalente

    log_(a)[(2x+1)(1-x)] ≥ 0 con a > 1

    da cui, poiché per ipotesi a > 1,

    (2x+1)(1-x) ≥ 1 → x-2x^2 ≥ 0

    Osservazione: abbiamo utilizzato qui la condizione a > 1. Se la base del logaritmo fosse stata compresa tra zero e uno esclusi, avremmo dovuto invertire il verso della disequazione ottenendo x-2x^2 ≤ 0.

    Ora siamo in grado di esplicitare il sistema di disequazioni che definisce il dominio della funzione

    2x+1 > 0 ; 1-x > 0 ; x-2x^2 ≥ 0

    La prima e la seconda sono semplici disequazioni di primo grado

    2x+1 > 0 → x > -(1)/(2) ; 1-x > 0 → x < 1

    L'ultima è invece una disequazione di secondo grado soddisfatta per valori interni

    x-2x^2 ≥ 0 → x(1-2x) ≥ 0 → 0 ≤ x ≤ (1)/(2)

    Intersecando le tre soluzioni, ricaviamo che l'insieme di esistenza di f(x) è

    Dom(f) = [0,(1)/(2)]

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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