Dominio di una funzione logaritmica sotto radice quadrata

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Potreste aiutarmi a calcolare il dominio di una funzione con radice e logaritmo? Ho riscontrato delle difficoltà nella risoluzione perché compare un parametro reale e sinceramente non so proprio come comportarmi.

 

Calcolare il dominio della funzione

 

f(x)=\sqrt{\log_{a}(2x+1)+\log_{a}(1-x)}

 

al variare del parametro reale a>1.

Domanda di Federica90

 
Soluzioni

  • Per determinare il dominio della funzione

    f(x)=\sqrt{\log_{a}(2x+1)+\log_{a}(1-x)}

    dobbiamo richiedere che sussistano le seguenti condizioni:

    - gli argomenti dei logaritmi devono essere maggiori di zero, vale a dire

    2x+1>0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ 1-x>0

    - il radicando della radice con indice pari dev'essere non negativo, cioè deve valere la disequazione logaritmica

    \log_{a}(2x+1)+\log_{a}(1-x)\ge 0 \ \ \ \mbox{con} \ a>1

    Prima di procedere, è fondamentale sottolineare che per 2x+1>0 \ \mbox{e per} \ 1-x>0 la proprietà sulla somma di logaritmi permette di scrivere la disequazione logaritmica nella forma equivalente

    \log_{a}\left[(2x+1)(1-x)]\ge 0 \ \ \ \mbox{con} \ a>1

    da cui, poiché per ipotesi a>1,

    (2x+1)(1-x)\ge 1 \ \to \ x-2x^2\ge 0

    Osservazione: abbiamo utilizzato qui la condizione a>1. Se la base del logaritmo fosse stata compresa tra zero e uno esclusi, avremmo dovuto invertire il verso della disequazione ottenendo x-2x^2\le 0.

    Ora siamo in grado di esplicitare il sistema di disequazioni che definisce il dominio della funzione

    \begin{cases}2x+1>0 \\ \\ 1-x>0 \\ \\ x-2x^2\ge 0\end{cases}

    La prima e la seconda sono semplici disequazioni di primo grado

    \\ 2x+1>0 \ \to \ x>-\frac{1}{2} \\ \\ 1-x>0 \ \to \ x<1

    L'ultima è invece una disequazione di secondo grado soddisfatta per valori interni

    x-2x^2\ge 0 \ \to \ x(1-2x)\ge 0 \ \to 0\le x\le\frac{1}{2}

    Intersecando le tre soluzioni, ricaviamo che l'insieme di esistenza di f(x) è

    Dom(f)=\left[0,\frac{1}{2}\right]

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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