Soluzioni
  • Il nostro compito consiste nel calcolare l'area dell'insieme

    D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \ : \ \frac{x^2}{2}\le y\le x^2 ;\ \frac{y^2}{2}\le x\le y^2\right\}

    avvalendoci della formula secondo cui l'area dell'insieme D è uguale all'integrale doppio di 1 su D.

    \mbox{Area}(D)=\iint_{D}1dxdy

    In questa circostanza, calcoleremo l'integrale doppio procedendo con un opportuno cambio di coordinate

    \Phi(u,v)=(x(u,v),y(u,v))

    grazie al quale l'integrale dopio diventa:

    \mbox{Area}(D)=\iint_{\Phi^{-1}(D)}|\mbox{det}(J_{\Phi}(u,v))|dudv

    Analisi geometrica dell'insieme

    Prima di svolgere qualsiasi calcolo è fondamentale analizzare D e rappresentarlo nel piano cartesiano.

    Esaminiamo prima di tutto la doppia disequazione

    \frac{x^2}{2}\le y\le x^2

    Essa individua tutti i punti del piano compresi tra la parabola di equazione y=\frac{x^2}{2} e quella di equazione y=x^2.

    La doppia disequazione

    \frac{y^2}{2}\le x \le y^2

    individua tutti i punti del piano compresi tra la parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ascisse, di equazione x=\frac{y^2}{2} e quella di equazione x=y^2.

    Le informazioni a nostra disposizione consentono di rappresentare D

     

    Calcolo area con cambiamento di coordinate

     

    Dal grafico si evince che le variabili x\ \mbox{e} \ y sono entrambe positive, per cui è possibile dividere la doppia disuguaglianza

    \frac{x^2}{2}\le y\le x^2

    per x^2, ricavando così:

    \frac{1}{2}\le\frac{y}{x^2}\le 1

    Allo stesso modo, possiamo dividere i tre membri della doppia disuguaglianza

    \frac{y^2}{2}\le x\le y^2

    per y^2, ottenendo la condizione equivalente

    \frac{1}{2}\le \frac{x}{y^2}\le 1

    In definitiva l'insieme D si può riscrivere nella forma equivalente

    D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \ : \ \frac{1}{2}\le\frac{y}{x^2}\le 1; \ \frac{1}{2}\le \frac{x}{y^2}\le 1\right\}

    Calcolo dell'integrale doppio

    L'area dell'insieme D coincide con il seguente integrale doppio:

    \mbox{Area}(D)=\iint_{D}1dxdy

    e la forma in cui si presenta D suggerisce di operare le seguenti sostituzioni

    \Psi(x,y)=\begin{cases}u=\dfrac{y}{x^2}\\ \\ v=\dfrac{x}{y^2}\end{cases}

    grazie alle quali possiamo esprimere D in termini di u\ \mbox{e} \ v

    \Phi^{-1}(D)=\left\{(u,v)\in\mathbb{R}^2 \ : \ \frac{1}{2}\le u\le 1; \ \frac{1}{2}\le v\le 1\right\}

    Oltre a riscrivere l'insieme D in termini di u\ \mbox{e} \ v è necessario calcolare lo jacobiano associato alla trasformazione \Phi. Attenzione! \Psi è la trasformazione inversa di \Phi e i rispettivi jacobiani sono legati dalla relazione fondamentale.

    \mbox{det}(J_{\Phi}(u,v))=\frac{1}{\mbox{det}(J_{\Psi}(\Phi(u,v)))}

    Prima di procedere oltre esplicitiamo l'espressione di \Phi(u, v) considerando il sistema

    \begin{cases}u=\dfrac{y}{x^2}\\ \\ v=\dfrac{x}{y^2}\end{cases}

    Moltiplichiamo per x^2 i membri della prima equazione

    \begin{cases}y=ux^2\\ \\ v=\dfrac{x}{y^2}\end{cases}

    dopodiché sostituiamo nella seconda

    \begin{cases}y=ux^2\\ \\ v=\dfrac{x}{(ux^2)^2}=\dfrac{1}{u^2x^3}\end{cases}

    Moltiplichiamo per x^3 i membri della seconda

    \begin{cases}y=ux^2\\ \\ x^3v=\dfrac{1}{u^2}\end{case}

    dividiamo per v

    \begin{cases}y=ux^2\\ \\ x^3=\dfrac{1}{u^2v}\end{case}

    ed estraiamo la radice cubica così da ricavare x in termini di u\ \mbox{e} \ v

    \begin{cases}y=ux^2\\ \\ x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{u^2v}}\end{cases}

    A questo punto non ci resta che esprimere y in termini di u\ \mbox{e}\ v sostituendo l'espressione di x

    \begin{cases}y=u\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{u^2v}}\right)^2=\dfrac{1}{\sqrt[3]{uv^2}}\\ \\ x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{u^2v}}\end{cases}

    In definitiva, l'espressione analitica della trasformazione \Phi(u, v) è:

    \Phi(u,v)=\begin{cases}x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{u^2v}}\\ \\ y=\dfrac{1}{\sqrt[3]{uv^2}}\end{cases}

    Teniamo questa trasformazione da parte e calcoliamo il determinante della matrice Jacobiana associata a \Psi. Per farlo, abbiamo bisogno delle derivate parziali delle seguenti funzioni:

    u(x,y)=\dfrac{y}{x^2} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ v(x,y)=\dfrac{x}{y^2}\end{cases}

    La derivata parziale rispetto a x di u(x,y) è:

    \\ u_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{y}{x^2}\right]= \\ \\ \\ =y\frac{\partial}{\partial x}[x^{-2}]=\\ \\ \\ =y (-2)x^{-3}=\\ \\ \\ =-2\frac{y}{x^3}

    La derivata parziale rispetto a y di u(x,y) è:

    \\ u_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\left[\frac{y}{x^2}\right]=\\ \\ \\ =\frac{1}{x^2}\frac{\partial}{\partial y}[y]=\frac{1}{x^2}

    Usando gli stessi passaggi, siamo in grado di esplicitare le derivate parziali di v(x,y) che sono rispettivamente:

    v_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{x}{y^2}\right]=\frac{1}{y^2} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ v_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\left[\frac{x}{y^2}\right]=-\frac{2x}{y^3}

    Calcoliamo lo Jacobiano associato alla trasformazione \Psi(x,y)=(u(x,y),v(x,y))

    \\ \mbox{det}(J_{\Psi}(x,y))=\mbox{det}\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\\ v_{x}&v_{y}\end{pmatrix}=\\ \\ \\ =\mbox{det}\begin{pmatrix}-\dfrac{2y}{x^3}&\dfrac{1}{x^2}\\ \\ \dfrac{1}{y^2}&-\dfrac{2x}{y^3}\end{pmatrix}= \\ \\ \\ =\frac{4xy}{x^3 y^3}-\frac{1}{x^2 y^2}=\\ \\ \\ =\frac{4}{x^2y^2}-\frac{1}{x^2y^2}=\\ \\ \\ =\frac{3}{x^2y^2}

    dopodiché componiamo il risultato con la trasformazione

    \Phi(u,v)=\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{u^2v}},\ \dfrac{1}{\sqrt[3]{uv^2}}\right)

    ottenendo:

    \\ \mbox{det}(J_{\Psi}(\Phi(u,v)))=\frac{3}{\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{u^2 v}}\right)^2\cdot\left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{u v^2}}\right)^2}= \\ \\ \\ =3(\sqrt[3]{u^2 v})^2(\sqrt[3]{uv^2})^2=

    Sfruttando a dovere le proprietà delle potenze, l'espressione si semplifica notevolmente.

    \\ =3(\sqrt[3]{u^2 v}\sqrt[3]{u v^2})^{2}=\\ \\ =3(\sqrt[3]{u^3 v^3})^2=\\ \\ =3u^2 v^2

    Noto \mbox{det}(J_{\Psi}(\Phi(u,v))), siamo in grado di esplicitare lo Jacobiano associato a \Phi mediante la formula

    \\ \mbox{det}(J_{\Phi}(u,v))=\frac{1}{\mbox{det}(J_{\Psi}(\Phi(u,v)))}= \\ \\ \\ =\frac{1}{3u^2 v^2}

    con u,v\in\left[\frac{1}{2},1\right].

    Perfetto! Disponiamo di tutti gli elementi per calcolare l'area di D

    \\ \mbox{Area}(D)=\iint_{D}1dx dy=\iint_{\Phi^{-1}(D)}|\mbox{det}(J_{\Phi}(u,v))|dudv= \\ \\ \\ =\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left[\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left|\frac{1}{3u^2v^2}\right|du\right]dv=

    Il valore assoluto sparisce perché il suo argomento è positivo

    =\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left[\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{1}{3u^2v^2}du\right]dv=

    Svolgiamo l'integrale rispetto alla variabile u facendo fuoriuscire il termine \frac{1}{3v^2} e usando la regola per l'integrale di una potenza

    \\ =\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left[\frac{1}{3v^2}\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{1}{u^2}du\right]dv= \\ \\ \\ =\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left[\frac{1}{3v^2}\left(-\frac{1}{u}\right)_{u=\frac{1}{2}}^{u=1}\right]dv=\\ \\ \\ =\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{1}{3v^2}dv=

    Svolgiamo l'integrale rispetto alla variabile v

    \\ =\frac{1}{3}\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{1}{v^2}dv= \\ \\ \\ =\frac{1}{3}\left[-\frac{1}{v}\right]_{v=\frac{1}{2}}^{v=1}=\frac{1}{3}

    Quello ottenuto è il valore dell'area dell'insieme D.

    Ecco fatto.

    Risposta di Ifrit
 
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