Il nostro compito consiste nel calcolare l'area dell'insieme
avvalendoci della formula secondo cui l'area dell'insieme
è uguale all'integrale doppio di
su
.
In questa circostanza, calcoleremo l'integrale doppio procedendo con un opportuno cambio di coordinate
grazie al quale l'integrale dopio diventa:
Analisi geometrica dell'insieme
Prima di svolgere qualsiasi calcolo è fondamentale analizzare
e rappresentarlo nel piano cartesiano.
Esaminiamo prima di tutto la doppia disequazione
Essa individua tutti i punti del piano compresi tra la parabola di equazione
e quella di equazione
.
La doppia disequazione
individua tutti i punti del piano compresi tra la parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ascisse, di equazione
e quella di equazione
.
Le informazioni a nostra disposizione consentono di rappresentare
Dal grafico si evince che le variabili
sono entrambe positive, per cui è possibile dividere la doppia disuguaglianza
per
, ricavando così:
Allo stesso modo, possiamo dividere i tre membri della doppia disuguaglianza
per
, ottenendo la condizione equivalente
In definitiva l'insieme
si può riscrivere nella forma equivalente
Calcolo dell'integrale doppio
L'area dell'insieme
coincide con il seguente integrale doppio:
e la forma in cui si presenta
suggerisce di operare le seguenti sostituzioni
grazie alle quali possiamo esprimere
in termini di
Oltre a riscrivere l'insieme
in termini di
è necessario calcolare lo jacobiano associato alla trasformazione
. Attenzione!
è la trasformazione inversa di
e i rispettivi jacobiani sono legati dalla relazione fondamentale.
Prima di procedere oltre esplicitiamo l'espressione di
considerando il sistema
Moltiplichiamo per
i membri della prima equazione
dopodiché sostituiamo nella seconda
Moltiplichiamo per
i membri della seconda
dividiamo per
ed estraiamo la radice cubica così da ricavare
in termini di
A questo punto non ci resta che esprimere
in termini di
sostituendo l'espressione di
In definitiva, l'espressione analitica della trasformazione
è:
Teniamo questa trasformazione da parte e calcoliamo il determinante della matrice Jacobiana associata a
. Per farlo, abbiamo bisogno delle derivate parziali delle seguenti funzioni:
La derivata parziale rispetto a
di
è:
La derivata parziale rispetto a
di
è:
Usando gli stessi passaggi, siamo in grado di esplicitare le derivate parziali di
che sono rispettivamente:
Calcoliamo lo Jacobiano associato alla trasformazione
dopodiché componiamo il risultato con la trasformazione
ottenendo:
Sfruttando a dovere le proprietà delle potenze, l'espressione si semplifica notevolmente.
Noto
, siamo in grado di esplicitare lo Jacobiano associato a
mediante la formula
con
Perfetto! Disponiamo di tutti gli elementi per calcolare l'area di
Il valore assoluto sparisce perché il suo argomento è positivo
Svolgiamo l'integrale rispetto alla variabile
facendo fuoriuscire il termine
e usando la regola per l'integrale di una potenza
Svolgiamo l'integrale rispetto alla variabile
Quello ottenuto è il valore dell'area dell'insieme
Ecco fatto.
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