Calcolo area con integrali doppi e cambiamento di coordinate

Dovrei risolvere un esercizio sul calcolo dell'area di un insieme con gli integrali doppi per cui è richiesto un cambiamento di coordinate. Il problema è che non capisco qual è la sostituzione da effettuare, ecco perché ho bisogno del vostro aiuto.

Calcolare l'area del seguente insieme:

$D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \ : \ \frac{x^2}{2}\le y\le x^2 ;\ \frac{y^2}{2}\le x\le y^2\right\}$

Grazie mille.

Domanda di Cimino

Soluzioni

Il nostro compito consiste nel calcolare l'area dell'insieme
$D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \ : \ \frac{x^2}{2}\le y\le x^2 ;\ \frac{y^2}{2}\le x\le y^2\right\}$
avvalendoci della formula secondo cui l'area dell'insieme è uguale all'integrale doppio di su .
$\mbox{Area}(D)=\iint_{D}1dxdy$
In questa circostanza, calcoleremo l'integrale doppio procedendo con un opportuno cambio di coordinate
$\Phi(u,v)=(x(u,v),y(u,v))$
grazie al quale l'integrale dopio diventa:
$\mbox{Area}(D)=\iint_{\Phi^{-1}(D)}|\mbox{det}(J_{\Phi}(u,v))|dudv$
Analisi geometrica dell'insieme
Prima di svolgere qualsiasi calcolo è fondamentale analizzare e rappresentarlo nel piano cartesiano.
Esaminiamo prima di tutto la doppia disequazione
$\frac{x^2}{2}\le y\le x^2$
Essa individua tutti i punti del piano compresi tra la parabola di equazione $y=\frac{x^2}{2}$ e quella di equazione .
La doppia disequazione
$\frac{y^2}{2}\le x \le y^2$
individua tutti i punti del piano compresi tra la parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ascisse, di equazione $x=\frac{y^2}{2}$ e quella di equazione .
Le informazioni a nostra disposizione consentono di rappresentare

Dal grafico si evince che le variabili $x\ \mbox{e} \ y$ sono entrambe positive, per cui è possibile dividere la doppia disuguaglianza
$\frac{x^2}{2}\le y\le x^2$
per , ricavando così:
$\frac{1}{2}\le\frac{y}{x^2}\le 1$
Allo stesso modo, possiamo dividere i tre membri della doppia disuguaglianza
$\frac{y^2}{2}\le x\le y^2$
per , ottenendo la condizione equivalente
$\frac{1}{2}\le \frac{x}{y^2}\le 1$
In definitiva l'insieme si può riscrivere nella forma equivalente
$D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \ : \ \frac{1}{2}\le\frac{y}{x^2}\le 1; \ \frac{1}{2}\le \frac{x}{y^2}\le 1\right\}$
Calcolo dell'integrale doppio
L'area dell'insieme coincide con il seguente integrale doppio:
$\mbox{Area}(D)=\iint_{D}1dxdy$
e la forma in cui si presenta suggerisce di operare le seguenti sostituzioni
$\Psi(x,y)=\begin{cases}u=\dfrac{y}{x^2}\\ \\ v=\dfrac{x}{y^2}\end{cases}$
grazie alle quali possiamo esprimere in termini di $u\ \mbox{e} \ v$
$\Phi^{-1}(D)=\left\{(u,v)\in\mathbb{R}^2 \ : \ \frac{1}{2}\le u\le 1; \ \frac{1}{2}\le v\le 1\right\}$
Oltre a riscrivere l'insieme in termini di $u\ \mbox{e} \ v$ è necessario calcolare lo jacobiano associato alla trasformazione $\Phi$ . Attenzione! $\Psi$ è la trasformazione inversa di $\Phi$ e i rispettivi jacobiani sono legati dalla relazione fondamentale.
$\mbox{det}(J_{\Phi}(u,v))=\frac{1}{\mbox{det}(J_{\Psi}(\Phi(u,v)))}$
Prima di procedere oltre esplicitiamo l'espressione di $\Phi(u, v)$ considerando il sistema
$\begin{cases}u=\dfrac{y}{x^2}\\ \\ v=\dfrac{x}{y^2}\end{cases}$
Moltiplichiamo per i membri della prima equazione
$\begin{cases}y=ux^2\\ \\ v=\dfrac{x}{y^2}\end{cases}$
dopodiché sostituiamo nella seconda
$\begin{cases}y=ux^2\\ \\ v=\dfrac{x}{(ux^2)^2}=\dfrac{1}{u^2x^3}\end{cases}$
Moltiplichiamo per i membri della seconda
$\begin{cases}y=ux^2\\ \\ x^3v=\dfrac{1}{u^2}\end{case}$
dividiamo per
$\begin{cases}y=ux^2\\ \\ x^3=\dfrac{1}{u^2v}\end{case}$
ed estraiamo la radice cubica così da ricavare in termini di $u\ \mbox{e} \ v$
$\begin{cases}y=ux^2\\ \\ x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{u^2v}}\end{cases}$
A questo punto non ci resta che esprimere in termini di $u\ \mbox{e}\ v$ sostituendo l'espressione di
$\begin{cases}y=u\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{u^2v}}\right)^2=\dfrac{1}{\sqrt[3]{uv^2}}\\ \\ x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{u^2v}}\end{cases}$
In definitiva, l'espressione analitica della trasformazione $\Phi(u, v)$ è:
$\Phi(u,v)=\begin{cases}x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{u^2v}}\\ \\ y=\dfrac{1}{\sqrt[3]{uv^2}}\end{cases}$
Teniamo questa trasformazione da parte e calcoliamo il determinante della matrice Jacobiana associata a $\Psi$ . Per farlo, abbiamo bisogno delle derivate parziali delle seguenti funzioni:
$u(x,y)=\dfrac{y}{x^2} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ v(x,y)=\dfrac{x}{y^2}\end{cases}$
La derivata parziale rispetto a di è:
$\\ u_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{y}{x^2}\right]= \\ \\ \\ =y\frac{\partial}{\partial x}[x^{-2}]=\\ \\ \\ =y (-2)x^{-3}=\\ \\ \\ =-2\frac{y}{x^3}$
La derivata parziale rispetto a di è:
$\\ u_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\left[\frac{y}{x^2}\right]=\\ \\ \\ =\frac{1}{x^2}\frac{\partial}{\partial y}[y]=\frac{1}{x^2}$
Usando gli stessi passaggi, siamo in grado di esplicitare le derivate parziali di che sono rispettivamente:
$v_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{x}{y^2}\right]=\frac{1}{y^2} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ v_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\left[\frac{x}{y^2}\right]=-\frac{2x}{y^3}$
Calcoliamo lo Jacobiano associato alla trasformazione $\Psi(x,y)=(u(x,y),v(x,y))$
$\\ \mbox{det}(J_{\Psi}(x,y))=\mbox{det}\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\\ v_{x}&v_{y}\end{pmatrix}=\\ \\ \\ =\mbox{det}\begin{pmatrix}-\dfrac{2y}{x^3}&\dfrac{1}{x^2}\\ \\ \dfrac{1}{y^2}&-\dfrac{2x}{y^3}\end{pmatrix}= \\ \\ \\ =\frac{4xy}{x^3 y^3}-\frac{1}{x^2 y^2}=\\ \\ \\ =\frac{4}{x^2y^2}-\frac{1}{x^2y^2}=\\ \\ \\ =\frac{3}{x^2y^2}$
dopodiché componiamo il risultato con la trasformazione
$\Phi(u,v)=\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{u^2v}},\ \dfrac{1}{\sqrt[3]{uv^2}}\right)$
ottenendo:
$\\ \mbox{det}(J_{\Psi}(\Phi(u,v)))=\frac{3}{\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{u^2 v}}\right)^2\cdot\left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{u v^2}}\right)^2}= \\ \\ \\ =3(\sqrt[3]{u^2 v})^2(\sqrt[3]{uv^2})^2=$
Sfruttando a dovere le proprietà delle potenze, l'espressione si semplifica notevolmente.
$\\ =3(\sqrt[3]{u^2 v}\sqrt[3]{u v^2})^{2}=\\ \\ =3(\sqrt[3]{u^3 v^3})^2=\\ \\ =3u^2 v^2$
Noto $\mbox{det}(J_{\Psi}(\Phi(u,v)))$ , siamo in grado di esplicitare lo Jacobiano associato a $\Phi$ mediante la formula
$\\ \mbox{det}(J_{\Phi}(u,v))=\frac{1}{\mbox{det}(J_{\Psi}(\Phi(u,v)))}= \\ \\ \\ =\frac{1}{3u^2 v^2}$
con $u,v\in\left[\frac{1}{2},1\right].$
Perfetto! Disponiamo di tutti gli elementi per calcolare l'area di
$\\ \mbox{Area}(D)=\iint_{D}1dx dy=\iint_{\Phi^{-1}(D)}|\mbox{det}(J_{\Phi}(u,v))|dudv= \\ \\ \\ =\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left[\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left|\frac{1}{3u^2v^2}\right|du\right]dv=$
Il valore assoluto sparisce perché il suo argomento è positivo
$=\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left[\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{1}{3u^2v^2}du\right]dv=$
Svolgiamo l'integrale rispetto alla variabile facendo fuoriuscire il termine $\frac{1}{3v^2}$ e usando la regola per l'integrale di una potenza
$\\ =\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left[\frac{1}{3v^2}\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{1}{u^2}du\right]dv= \\ \\ \\ =\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left[\frac{1}{3v^2}\left(-\frac{1}{u}\right)_{u=\frac{1}{2}}^{u=1}\right]dv=\\ \\ \\ =\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{1}{3v^2}dv=$
Svolgiamo l'integrale rispetto alla variabile
$\\ =\frac{1}{3}\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{1}{v^2}dv= \\ \\ \\ =\frac{1}{3}\left[-\frac{1}{v}\right]_{v=\frac{1}{2}}^{v=1}=\frac{1}{3}$
Quello ottenuto è il valore dell'area dell'insieme
Ecco fatto.
Risposta di Ifrit