Soluzioni
  • Il limite

    \lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{2x^2+x+1}-2}=(\bullet)

    genera una forma indeterminata del tipo \left[\frac{0}{0}\right] che possiamo risolvere mediante razionalizzazione.

    Per razionalizzare il numeratore moltiplichiamo e dividiamo per il fattore razionalizzante

    \sqrt{x+3}+2

    mentre per razionalizzare il denominatore moltiplichiamo e dividiamo per il fattore

    \sqrt{2x^2+x+1}+2

    così facendo il limite si esprime come

    (\bullet)=\lim_{x\to1}\frac{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)(\sqrt{2x^2+x+1}+2)}{(\sqrt{x+3}+2)(\sqrt{2x^2+x+1}-2)(\sqrt{2x^2+x+1}+2)}=(\bullet\bullet)

    In accordo con la regola relativa al prodotto tra una somma e una differenza scopriamo che

    \\ (\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)=x+3-4=x-1 \\ \\ (\sqrt{2x^2+x+1}-2)(\sqrt{2x^2+x+1}+2)=2x^2+x+1-4=2x^2+x-3

    dunque il limite da calcolare si riduce a:

    (\bullet\bullet)=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(\sqrt{2x^2+x+1}+2)}{(\sqrt{x+3}+2)(2x^2+x-3)}

    Nonostante i passaggi algebrici la forma di indecisione non è stata ancora sciolta perché non abbiamo ancora semplificato i termini che tendono a 0 per x che tende a 1.

    Il prossimo passaggio consiste nello scomporre il fattore 2x^2+x-3 mediante la regola di Ruffini la quale garantisce l'identità

    2x^2+x-3=(x-1)(2x+3)

    pertanto rimpiazzando il termine con la sua scomposizione e semplificando opportunamente giungiamo al risultato

    \\ \lim_{x\to1}\frac{(x-1)(\sqrt{2x^2+x+1}+2)}{(\sqrt{x+3}+2)(2x^2+x-3)}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(\sqrt{2x^2+x+1}+2)}{(\sqrt{x+3}+2)(x-1)(2x+3)}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{2x^2+x+1}+2}{(\sqrt{x+3}+2)(2x+3)}=\frac{\sqrt{4}+2}{(\sqrt{4}+2)(2+3)}=\frac{1}{5}

    Osserviamo che nell'ultimo passaggio abbiamo semplicemente applicato l'algebra dei limiti.

    Risposta di Ifrit
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