Limite fratto con infinitesimo e scomposizioni

  1. Home
  2. Domande e Risposte
  3. Università - Analisi

Come si calcola questo limite usando gli infinitesimi e le scomposizioni? Potreste spiegarmi la risoluzione nel dettaglio?

 

lim_(x → (-3)^(+))(e^((x)/(x+3))-x^2+9)/(x^3-7x+6)

Domanda di Luigi2110

 
Soluzioni

  • Consideriamo il limite

    lim_(x → (-3)^+)(e^((x)/(x+3))-x^2+9)/(x^3-7x+6) = (•)

    ed osserviamo che per x → (-3)^+, il primo addendo a numeratore genera un infinitesimo, infatti

    e^((x)/(x+3)) → [e^((-3)/(0^+))] = [e^(-∞)] = 0

    dove il risultato si giustifica mediante l'andamento della funzione esponenziale.

    Trascurando tale termine ci riconduciamo al limite di una funzione razionale che porta ad una forma indeterminata [(0)/(0)]

    (•) = lim_(x → (-3)^+)(-x^2+9)/(x^3-7x+6) =

    Come si suol fare in questi casi, cerchiamo di eliminare l'indeterminazione con un'opportuna semplificazione. Per prima cosa scomponiamo il numeratore con la regola della differenza di quadrati

    = lim_(x → (-3)^+)((3-x)(3+x))/(x^3-7x+6) =

    mentre scomponiamo il denominatore mediante la regola di Ruffini

    = lim_(x → (-3)^+)((3-x)(3+x))/((3+x)(x-1)(x-2)) =

    Non ci rimane altro che semplificare (3+x)

    = lim_(x → (-3)^+)(3-x)/((x-1)(x-2)) =

    e calcolare il limite mediante sostituzione diretta

    = (3-(-3))/((-3-1)(-3-2)) = (6)/(20) = (3)/(10)

    Abbiamo portato a termine il nostro compito.

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
Le più lette
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Analisi Matematica