Soluzioni
  • Consideriamo il limite

    \lim_{x\to(-3)^+}\frac{e^{\frac{x}{x+3}}-x^2+9}{x^3-7x+6}=(\bullet)

    ed osserviamo che per x\to (-3)^+, il primo addendo a numeratore genera un infinitesimo, infatti

    e^{\frac{x}{x+3}}\to \left[e^{\frac{-3}{0^+}}\right]=[e^{-\infty}]=0

    dove il risultato si giustifica mediante l'andamento della funzione esponenziale.

    Trascurando tale termine ci riconduciamo al limite di una funzione razionale che porta ad una forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right]

    (\bullet)=\lim_{x\to (-3)^+}\frac{-x^2+9}{x^3-7x+6}=

    Come si suol fare in questi casi, cerchiamo di eliminare l'indeterminazione con un'opportuna semplificazione. Per prima cosa scomponiamo il numeratore con la regola della differenza di quadrati

    =\lim_{x\to(-3)^+}\frac{(3-x)(3+x)}{x^3-7x+6}=

    mentre scomponiamo il denominatore mediante la regola di Ruffini

    =\lim_{x\to(-3)^+}\frac{(3-x)(3+x)}{(3+x)(x-1)(x-2)}=

    Non ci rimane altro che semplificare (3+x)

    =\lim_{x\to(-3)^+}\frac{3-x}{(x-1)(x-2)}=

    e calcolare il limite mediante sostituzione diretta

    =\frac{3-(-3)}{(-3-1)(-3-2)}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}

    Abbiamo portato a termine il nostro compito.

    Risposta di Ifrit
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