problema di cauchy

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devo determinare il dominio della soluzione massimale del seguente problema di cauchy:

y'=2x-2xy^2

y(3)=1.

come faccio?

Domanda di Lely91

 
Soluzioni

  • Ciao Lely, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Nel caso specifico considerato per determinare il dominio massimale della soluzione, cioè il sottoinsieme I×A sul quale è definita la soluzione, puoi risolvere il problema di Cauchy esplicitamente e determinare il dominio della soluzione.

    La soluzione del problema di Cauchy che proponi esiste unica, in accordo con il teorema di esistenza e unicità, essendo la funzione f(x,y) che definisce il problema

    y'= f(x,y)

    y(3) = 1

    lipschitziana (in y).

    L'equazione differenziale proposta è a variabili separabili, e ammette come generica soluzione

    y(x) = (e^(2x)-e^(C))/(e^(C)+e^(2x))

    Se sai come determinarla, dopo averla determinata, puoi concludere subito che il dominio massimale è R.

    Se non sai come giungere a tale soluzione, fammelo sapere.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • non so come determinare y(x).

    Risposta di Lely91

  • Vediamo come fare Laughing

    1) Separazione delle variabili

    y'= 2x-2xy^2

    y'= 2x(1-y^2)

    (y')/(1-y^2) = 2x

    2) Integriamo

    ((dy)/(dx))/(1-y^2) = 2x

    (dy)/(1-y^2) = 2xdx

    ∫(dy)/(1-y^2) = ∫2xdx

    otteniamo

    (1)/(2)(ln(y+1)-log(1-y)) = x^2+c

    3) Smanettamenti algebrici

    ln(y+1)-log(1-y) = 2x^2+2c

    Per una nota proprietà dei logaritmi

    ln(((y+1)/(1-y))) = 2x^2+2c

    Applichiamo l'esponenziale ad entrambi i membri

    (y+1)/(1-y) = e^(2x^2+2c)

    4) Facciamo furbi

    (y+1)/(1-y) = z

    y+1 = z(1-y)

    y+1 = z-zy

    y+zy = z-1

    y(1+z) = z-1

    y = (z-1)/(z+1)

    dunque

    y(x) = (e^(2x^2+2c)-1)/(e^(2x^2+2c)+1)

    5) Determinazione della costante: la lascio a te.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • @Ifrit: non ti ho visto... Frown

    Risposta di Omega

  • la costante la ottengo mettendo x=3 e y(x)=1 e risolvendo l'equzione giusto?

    Risposta di Lely91

  • Bravissima! :)

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • una cosa. nella risoluzione dell'integrale non viene 1/2[ln(y+1)-ln(y-1)]?

    Risposta di Lely91

  • No. Per convincertene, prova a derivarla e a vedere se ottieni (o no) l'integranda Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • possibilie che la costante sia zero o sbaglio io?

    Risposta di Lely91

  • Alt alt alt! La soluzione non che abbiamo determinato dall'equazione differenziale non soddisfa il problema di Cauchy, perché quando giungiamo all'integrale in forma generale

    (1)/(2)ln(((y+1)/(1-y))) = x^2+c

    la condizione iniziale

    y(3) = 1

    non può essere verificata!

    Perdonami, avevo letto esattamente il contrario nella condizione iniziale...ho scritto y(3) = 1 ma pensavo a y(1) = 3 Embarassed

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • quindi come devo procedere?

    Risposta di Lely91

  • La soluzione del problema di Cauchy (quindi dell'equazione differenziale con quella specifica condizione iniziale) non esiste.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • cioè quando arrivo a scrivere la soluzione dell'integrale e vedo che ad un certo punto otterrei un ln(0) posso affermare che questo problema di cauchy non ha soluzione?

    Risposta di Lely91

  • Esatto, in realtà già da prima.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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