problema di cauchy

devo determinare il dominio della soluzione massimale del seguente problema di cauchy:

y'=2x-2xy^2

y(3)=1.

come faccio?

Domanda di Lely91
Soluzioni

Ciao Lely, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega

Nel caso specifico considerato per determinare il dominio massimale della soluzione, cioè il sottoinsieme I×A sul quale è definita la soluzione, puoi risolvere il problema di Cauchy esplicitamente e determinare il dominio della soluzione.

La soluzione del problema di Cauchy che proponi esiste unica, in accordo con il teorema di esistenza e unicità, essendo la funzione f(x,y) che definisce il problema

y'= f(x,y)

y(3) = 1

lipschitziana (in y).

L'equazione differenziale proposta è a variabili separabili, e ammette come generica soluzione

y(x) = (e^(2x)-e^(C))/(e^(C)+e^(2x))

Se sai come determinarla, dopo averla determinata, puoi concludere subito che il dominio massimale è R.

Se non sai come giungere a tale soluzione, fammelo sapere.

Namasté!

Risposta di Omega

non so come determinare y(x).

Risposta di Lely91

Vediamo come fare Laughing

1) Separazione delle variabili

y'= 2x-2xy^2

y'= 2x(1-y^2)

(y')/(1-y^2) = 2x

2) Integriamo

((dy)/(dx))/(1-y^2) = 2x

(dy)/(1-y^2) = 2xdx

∫(dy)/(1-y^2) = ∫2xdx

otteniamo

(1)/(2)(ln(y+1)-log(1-y)) = x^2+c

3) Smanettamenti algebrici

ln(y+1)-log(1-y) = 2x^2+2c

Per una nota proprietà dei logaritmi

ln(((y+1)/(1-y))) = 2x^2+2c

Applichiamo l'esponenziale ad entrambi i membri

(y+1)/(1-y) = e^(2x^2+2c)

4) Facciamo furbi

(y+1)/(1-y) = z

y+1 = z(1-y)

y+1 = z-zy

y+zy = z-1

y(1+z) = z-1

y = (z-1)/(z+1)

dunque

y(x) = (e^(2x^2+2c)-1)/(e^(2x^2+2c)+1)

5) Determinazione della costante: la lascio a te.

Namasté!

Risposta di Omega

@Ifrit: non ti ho visto... Frown

Risposta di Omega

la costante la ottengo mettendo x=3 e y(x)=1 e risolvendo l'equzione giusto?

Risposta di Lely91

Bravissima! :)

Namasté!

Risposta di Omega

una cosa. nella risoluzione dell'integrale non viene 1/2[ln(y+1)-ln(y-1)]?

Risposta di Lely91

No. Per convincertene, prova a derivarla e a vedere se ottieni (o no) l'integranda Wink

Namasté!

Risposta di Omega

possibilie che la costante sia zero o sbaglio io?

Risposta di Lely91

Alt alt alt! La soluzione non che abbiamo determinato dall'equazione differenziale non soddisfa il problema di Cauchy, perché quando giungiamo all'integrale in forma generale

(1)/(2)ln(((y+1)/(1-y))) = x^2+c

la condizione iniziale

y(3) = 1

non può essere verificata!

Perdonami, avevo letto esattamente il contrario nella condizione iniziale...ho scritto y(3) = 1 ma pensavo a y(1) = 3 Embarassed

Namasté!

Risposta di Omega

quindi come devo procedere?

Risposta di Lely91

La soluzione del problema di Cauchy (quindi dell'equazione differenziale con quella specifica condizione iniziale) non esiste.

Namasté!

Risposta di Omega

cioè quando arrivo a scrivere la soluzione dell'integrale e vedo che ad un certo punto otterrei un ln(0) posso affermare che questo problema di cauchy non ha soluzione?

Risposta di Lely91

Esatto, in realtà già da prima.

Namasté!

Risposta di Omega

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