Soluzioni
  • Ciao Lely, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Nel caso specifico considerato per determinare il dominio massimale della soluzione, cioè il sottoinsieme I\times A sul quale è definita la soluzione, puoi risolvere il problema di Cauchy esplicitamente e determinare il dominio della soluzione.

    La soluzione del problema di Cauchy che proponi esiste unica, in accordo con il teorema di esistenza e unicità, essendo la funzione f(x,y) che definisce il problema

    y'=f(x,y)

    y(3)=1

    lipschitziana (in y).

    L'equazione differenziale proposta è a variabili separabili, e ammette come generica soluzione

    y(x)=\frac{e^{2x}-e^{C}}{e^{C}+e^{2x}}

    Se sai come determinarla, dopo averla determinata, puoi concludere subito che il dominio massimale è \mathbb{R}.

    Se non sai come giungere a tale soluzione, fammelo sapere.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • non so come determinare y(x).

    Risposta di Lely91
  • Vediamo come fare Laughing

    1) Separazione delle variabili

    y'=2x-2xy^2

    y'=2x(1-y^2)

    \frac{y'}{1-y^2}=2x

    2) Integriamo

    \frac{\frac{dy}{dx}}{1-y^2}=2x

    \frac{dy}{1-y^2}=2xdx

    \int{\frac{dy}{1-y^2}}=\int{2xdx}

    otteniamo

    \frac{1}{2}(\ln{(y+1)}-\log{(1-y)})=x^2+c

    3) Smanettamenti algebrici

    \ln{(y+1)}-\log{(1-y)}=2x^2+2c

    Per una nota proprietà dei logaritmi

    \ln{\left(\frac{y+1}{1-y}\right)}}=2x^2+2c

    Applichiamo l'esponenziale ad entrambi i membri

    \frac{y+1}{1-y}=e^{2x^2+2c}

    4) Facciamo furbi

    \frac{y+1}{1-y}=z

    y+1=z(1-y)

    y+1=z-zy

    y+zy=z-1

    y(1+z)=z-1

    y=\frac{z-1}{z+1}

    dunque

    y(x)=\frac{e^{2x^2+2c}-1}{e^{2x^2+2c}+1}

    5) Determinazione della costante: la lascio a te.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • @Ifrit: non ti ho visto... Frown

    Risposta di Omega
  • la costante la ottengo mettendo x=3 e y(x)=1 e risolvendo l'equzione giusto?

    Risposta di Lely91
  • Bravissima! :)

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • una cosa. nella risoluzione dell'integrale non viene 1/2[ln(y+1)-ln(y-1)]?

    Risposta di Lely91
  • No. Per convincertene, prova a derivarla e a vedere se ottieni (o no) l'integranda Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • possibilie che la costante sia zero o sbaglio io?

    Risposta di Lely91
  • Alt alt alt! La soluzione non che abbiamo determinato dall'equazione differenziale non soddisfa il problema di Cauchy, perché quando giungiamo all'integrale in forma generale

    \frac{1}{2}\ln{\left(\frac{y+1}{1-y}\right)}=x^2+c

    la condizione iniziale

    y(3)=1

    non può essere verificata!

    Perdonami, avevo letto esattamente il contrario nella condizione iniziale...ho scritto y(3)=1 ma pensavo a y(1)=3 Embarassed

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • quindi come devo procedere?

    Risposta di Lely91
  • La soluzione del problema di Cauchy (quindi dell'equazione differenziale con quella specifica condizione iniziale) non esiste.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • cioè quando arrivo a scrivere la soluzione dell'integrale e vedo che ad un certo punto otterrei un ln(0) posso affermare che questo problema di cauchy non ha soluzione?

    Risposta di Lely91
  • Esatto, in realtà già da prima.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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