Ciao Lely, arrivo a risponderti...
Nel caso specifico considerato per determinare il dominio massimale della soluzione, cioè il sottoinsieme
sul quale è definita la soluzione, puoi risolvere il problema di Cauchy esplicitamente e determinare il dominio della soluzione.
La soluzione del problema di Cauchy che proponi esiste unica, in accordo con il teorema di esistenza e unicità, essendo la funzione
che definisce il problema
lipschitziana (in
).
L'equazione differenziale proposta è a variabili separabili, e ammette come generica soluzione
Se sai come determinarla, dopo averla determinata, puoi concludere subito che il dominio massimale è
.
Se non sai come giungere a tale soluzione, fammelo sapere.
Namasté!
non so come determinare y(x).
Vediamo come fare
1) Separazione delle variabili
2) Integriamo
otteniamo
3) Smanettamenti algebrici
Per una nota proprietà dei logaritmi
Applichiamo l'esponenziale ad entrambi i membri
4) Facciamo furbi
dunque
5) Determinazione della costante: la lascio a te.
Namasté!
@Ifrit: non ti ho visto...
la costante la ottengo mettendo x=3 e y(x)=1 e risolvendo l'equzione giusto?
Bravissima! :)
Namasté!
una cosa. nella risoluzione dell'integrale non viene 1/2[ln(y+1)-ln(y-1)]?
No. Per convincertene, prova a derivarla e a vedere se ottieni (o no) l'integranda
Namasté!
possibilie che la costante sia zero o sbaglio io?
Alt alt alt! La soluzione non che abbiamo determinato dall'equazione differenziale non soddisfa il problema di Cauchy, perché quando giungiamo all'integrale in forma generale
la condizione iniziale
non può essere verificata!
Perdonami, avevo letto esattamente il contrario nella condizione iniziale...ho scritto
ma pensavo a
Namasté!
quindi come devo procedere?
La soluzione del problema di Cauchy (quindi dell'equazione differenziale con quella specifica condizione iniziale) non esiste.
Namasté!
cioè quando arrivo a scrivere la soluzione dell'integrale e vedo che ad un certo punto otterrei un ln(0) posso affermare che questo problema di cauchy non ha soluzione?
Esatto, in realtà già da prima.
Namasté!
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