problema di cauchy
devo determinare il dominio della soluzione massimale del seguente problema di cauchy:
y'=2x-2xy^2
y(3)=1.
come faccio?
Ciao Lely, arrivo a risponderti...
Risposta di Omega
Nel caso specifico considerato per determinare il dominio massimale della soluzione, cioè il sottoinsieme sul quale è definita la soluzione, puoi risolvere il problema di Cauchy esplicitamente e determinare il dominio della soluzione.
La soluzione del problema di Cauchy che proponi esiste unica, in accordo con il teorema di esistenza e unicità, essendo la funzione che definisce il problema
lipschitziana (in ).
L'equazione differenziale proposta è a variabili separabili, e ammette come generica soluzione
Se sai come determinarla, dopo averla determinata, puoi concludere subito che il dominio massimale è .
Se non sai come giungere a tale soluzione, fammelo sapere.
Namasté!
Risposta di Omega
non so come determinare y(x).
Risposta di Lely91
Vediamo come fare
1) Separazione delle variabili
2) Integriamo
otteniamo
3) Smanettamenti algebrici
Per una nota proprietà dei logaritmi
Applichiamo l'esponenziale ad entrambi i membri
4) Facciamo furbi
dunque
5) Determinazione della costante: la lascio a te.
Namasté!
Risposta di Omega
@Ifrit: non ti ho visto...
Risposta di Omega
la costante la ottengo mettendo x=3 e y(x)=1 e risolvendo l'equzione giusto?
Risposta di Lely91
Bravissima! :)
Namasté!
Risposta di Omega
una cosa. nella risoluzione dell'integrale non viene 1/2[ln(y+1)-ln(y-1)]?
Risposta di Lely91
No. Per convincertene, prova a derivarla e a vedere se ottieni (o no) l'integranda
Namasté!
Risposta di Omega
possibilie che la costante sia zero o sbaglio io?
Risposta di Lely91
Alt alt alt! La soluzione non che abbiamo determinato dall'equazione differenziale non soddisfa il problema di Cauchy, perché quando giungiamo all'integrale in forma generale
la condizione iniziale
non può essere verificata!
Perdonami, avevo letto esattamente il contrario nella condizione iniziale...ho scritto ma pensavo a
Namasté!
Risposta di Omega
quindi come devo procedere?
Risposta di Lely91
La soluzione del problema di Cauchy (quindi dell'equazione differenziale con quella specifica condizione iniziale) non esiste.
Namasté!
Risposta di Omega
cioè quando arrivo a scrivere la soluzione dell'integrale e vedo che ad un certo punto otterrei un ln(0) posso affermare che questo problema di cauchy non ha soluzione?
Risposta di Lely91
Esatto, in realtà già da prima.
Namasté!
Risposta di Omega