Limite fratto con differenza e Taylor

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Mi servirebbe il vostro aiuto per calcolare il limite di una funzione fratta in cui compaiono un'esponenziale e un coseno. Sospetto che si debba risolvere con Taylor, però non capisco a quale ordine fermarmi. Potreste darmi una mano?

 

Calcolare il seguente limite

 

lim_(x → 0)(e^(x)-cos(x)-x)/(x^2)

 

Grazie.

Domanda di Luigi2110

 
Soluzioni

  • Il limite

    lim_(x → 0)(e^(x)-cos(x)-x)/(x^2)

    genera una forma di indecisione del tipo [(0)/(0)] e per scioglierla possiamo avvalerci degli sviluppi di Taylor notevoli associati ai termini del numeratore. Qual è l'ordine a cui fermarsi? In questa circostanza è il grado della potenza x^2 che suggerisce di sviluppare le funzioni fino all'ordine 2.

    Scriviamo lo sviluppo della funzione esponenziale centrato in x_0 = 0

    e^(x) = 1+x+(x^2)/(2)+o(x^2)

    e quello del coseno

    cos(x) = 1-(x^2)/(2)+o(x^2)

    dopodiché sostituiamo le espressioni nel limite

    lim_(x → 0)(e^(x)-cos(x)-x)/(x^2) =

    che diventa

    = lim_(x → 0)(1+x+(x^2)/(2)+o(x^2)-(1-(x^2)/(2)+o(x^2))-x)/(x^2) = lim_(x → 0)(1+x+(x^2)/(2)+o(x^2)-1+(x^2)/(2)-o(x^2)-x)/(x^2) =

    Sommiamo quindi i monomi simili e usiamo le proprietà degli o-piccolo

    = lim_(x → 0)(x^2+o(x^2))/(x^2) = lim_(x → 0)[1+(o(x^2))/(x^2)] = 1

    Possiamo concludere che il limite di partenza è 1

    lim_(x → 0)(e^(x)-cos(x)-x)/(x^2) = 1

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
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