Soluzioni
  • Il limite

    \lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-\cos(x)-x}{x^2}

    genera una forma di indecisione del tipo \left[\frac{0}{0}\right] e per scioglierla possiamo avvalerci degli sviluppi di Taylor notevoli associati ai termini del numeratore. Qual è l'ordine a cui fermarsi? In questa circostanza è il grado della potenza x^2 che suggerisce di sviluppare le funzioni fino all'ordine 2.

    Scriviamo lo sviluppo della funzione esponenziale centrato in x_0=0

    e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)

    e quello del coseno

    \cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)

    dopodiché sostituiamo le espressioni nel limite

    \lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-\cos(x)-x}{x^2}=

    che diventa

    \\ =\lim_{x\to 0}\frac{1+x+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)-\left(1-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)\right)-x}{x^2}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to 0}\frac{1+x+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)-1+\dfrac{x^2}{2}-o(x^2)-x}{x^2}=

    Sommiamo quindi i monomi simili e usiamo le proprietà degli o-piccolo

    =\lim_{x\to 0}\frac{x^2+o(x^2)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\left[1+\frac{o(x^2)}{x^2}\right]=1

    Possiamo concludere che il limite di partenza è 1

    \lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-\cos(x)-x}{x^2}=1

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
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