Soluzioni
  • Ciao Federica90 arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Ok, per risolvere l'esercizio dobbiamo calcolare il limite per x che tende a zero della funzione in questione:

    \lim_{x\to 0}\frac{3^{3x}-a^x}{6^x-5^x}

    Per risolvere agevolmente il limite utilizziamo la proprietà che lega le funzioni esponenziali con le funzioni logaritmiche:

    z^t= e^{t\ln(z)}

    quindi:

    3^{3x}= e^{3x ln(3)}

    a^{x}= e^{x \ln(a)}\qquad a>0

    6^{x}= e^{x\ln(6)}

    infine

    5^{x}= e^{x \ln(6)}

    Il limite diventa:

    \lim_{x\to 0}\frac{e^{3x \ln(3)}-e^{x\ln(a)}}{e^{x \ln(6)}-e^{x\ln(5)}}

    Mettiamo in evidenza 

    e^{x\ln(a)} al numeratore 

    e

    e^{x\ln(5)} al denominatore:

    \lim_{x\to 0}\frac{e^{x \ln(a)}}{e^{x\ln(5)}}\cdot \frac{e^{3x \ln(3)-x\ln(a)}-1}{e^{x \ln(6)-x\ln(5)}-1}

    Sommando i termini simili agli esponenti:

    \lim_{x\to 0}\frac{e^{x \ln(a)}}{e^{x\ln(5)}}\cdot \frac{e^{(3\ln(3)-\ln(a))x}-1}{e^{( \ln(6)-\ln(5))x}-1}

    A questo punto interviene il limite notevole generalizzato:

    \lim_{f(x)\to 0}\frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}= 1

    di conseguenza:

    e^{(3\ln(3)-\ln(a))x}-1\sim_{0} (3\ln(3)-\ln(a))x

    mentre 

    e^{(\ln(6)-\ln(5))x}-1\sim_{0}(\ln(6)-\ln(5))x

    Sostituiamo nel limite:

    \lim_{x\to 0}\frac{e^{x \ln(a)}}{e^{x\ln(5)}}\cdot \frac{(3\ln(3)-\ln(a))x}{(\ln(6)-\ln(5))x}

    semplifichiamo x:

    \lim_{x\to 0}\frac{e^{x \ln(a)}}{e^{x\ln(5)}}\cdot \frac{3\ln(3)-\ln(a)}{\ln(6)-\ln(5)}

    Ora

    \frac{3\ln(3)-\ln(a)}{\ln(6)-\ln(5)}

    è una costante rispetto ad x quindi possiamo toglierla fuori dal simbolo di limite:

     \frac{3\ln(3)-\ln(a)}{\ln(6)-\ln(5)}\lim_{x\to 0}\frac{e^{x \ln(a)}}{e^{x\ln(5)}}=\frac{3\ln(3)-\ln(a)}{\ln(6)-\ln(5)}

    questo perché il limite

    \lim_{x\to 0}\frac{e^{x \ln(a)}}{e^{x\ln(5)}}=1

    Abbiamo quindi il valore del limite per x che tende a zero, dobbiamo imporre che esso sia uguale a 2:

    \frac{3\ln(3)-\ln(a)}{\ln(6)-\ln(5)}= 2

    Risolviamo l'equazione ottenuta rispetto ad a:

    3\ln(3)-\ln(a)= 2(\ln(6)-\ln(5))

    da cui

    -\ln(a)= 2\ln(6)-2\ln(5)-3\ln(3)

    Cambiamo i segni:

    \ln(a)= -2\ln(6)+2\ln(5)+3\ln(3)

    Da cui

    a= e^{-2\ln(6)+2\ln(5)+3\ln(3)}= e^{\ln(1/6^2)}\cdot e^{\ln(25)}\cdot e^{\ln(3^3)}=

    \frac{1}{36}\cdot 25\cdot 27=\frac{75}{4}

    Se hai domande sono qui :)

    Risposta di Ifrit
  • Scusami ma sappiamo già che il limite della f di x che tende a 0 è 2 quindi non basterebbe sostituire il 2 all'interno della funzione? non capisco tutti questi passaggi 

    Surprised :(

    Risposta di Federica90
  • Non devi inserire due nella funzione :(

    Noi sappiamo che il limite per x che tende a zero della funzione vale 2. Cioè sappiamo che:

    \lim_{x\to 0}\frac{3^{3x}-a^x}{6^x-5^x}=2

    Sei costretta a calcolare il limite al variare di a positivo. Una volta ottenuto il valore del limite devi imporre che esso sia uguale a 2, ed è quello che abbiamo fatto. So che non è il massimo della vita :(

    Risposta di Ifrit
  • infatti non è il massimo ma va bene....grazie mille :D

    Risposta di Federica90
 
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