Determinare una costante in una funzione conoscendo un limite

Buon pomeriggio, vorrei una conferma per calcolare il valore di una costante di una funzione, di cui conosco un particolare limite...

Considera la funzione $f(x)= \frac{3^{3x}-a^x}{6^x-5^x}$ , dove a è una costante reale positiva. Si determini la costante sapendo che il limite di x tendente a zero della f(x)=2.

Ho risolto l'esercizio sostituendo il 2 alla funzione e quindi ho trovato la costante a; però non so se va bene. Potete correggermi per favore?

Grazie :D

Domanda di Federica90

Soluzioni

Ciao Federica90 arrivo :D
Risposta di Ifrit
Ok, per risolvere l'esercizio dobbiamo calcolare il limite per x che tende a zero della funzione in questione:
$\lim_{x\to 0}\frac{3^{3x}-a^x}{6^x-5^x}$
Per risolvere agevolmente il limite utilizziamo la proprietà che lega le funzioni esponenziali con le funzioni logaritmiche:
$z^t= e^{t\ln(z)}$
quindi:
$3^{3x}= e^{3x ln(3)}$
$a^{x}= e^{x \ln(a)}\qquad a>0$
$6^{x}= e^{x\ln(6)}$
infine
$5^{x}= e^{x \ln(6)}$
Il limite diventa:
$\lim_{x\to 0}\frac{e^{3x \ln(3)}-e^{x\ln(a)}}{e^{x \ln(6)}-e^{x\ln(5)}}$
Mettiamo in evidenza
$e^{x\ln(a)}$ al numeratore
e
$e^{x\ln(5)}$ al denominatore:
$\lim_{x\to 0}\frac{e^{x \ln(a)}}{e^{x\ln(5)}}\cdot \frac{e^{3x \ln(3)-x\ln(a)}-1}{e^{x \ln(6)-x\ln(5)}-1}$
Sommando i termini simili agli esponenti:
$\lim_{x\to 0}\frac{e^{x \ln(a)}}{e^{x\ln(5)}}\cdot \frac{e^{(3\ln(3)-\ln(a))x}-1}{e^{( \ln(6)-\ln(5))x}-1}$
A questo punto interviene il limite notevole generalizzato:
$\lim_{f(x)\to 0}\frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}= 1$
di conseguenza:
$e^{(3\ln(3)-\ln(a))x}-1\sim_{0} (3\ln(3)-\ln(a))x$
mentre
$e^{(\ln(6)-\ln(5))x}-1\sim_{0}(\ln(6)-\ln(5))x$
Sostituiamo nel limite:
$\lim_{x\to 0}\frac{e^{x \ln(a)}}{e^{x\ln(5)}}\cdot \frac{(3\ln(3)-\ln(a))x}{(\ln(6)-\ln(5))x}$
semplifichiamo x:
$\lim_{x\to 0}\frac{e^{x \ln(a)}}{e^{x\ln(5)}}\cdot \frac{3\ln(3)-\ln(a)}{\ln(6)-\ln(5)}$
Ora
$\frac{3\ln(3)-\ln(a)}{\ln(6)-\ln(5)}$
è una costante rispetto ad x quindi possiamo toglierla fuori dal simbolo di limite:
$\frac{3\ln(3)-\ln(a)}{\ln(6)-\ln(5)}\lim_{x\to 0}\frac{e^{x \ln(a)}}{e^{x\ln(5)}}=\frac{3\ln(3)-\ln(a)}{\ln(6)-\ln(5)}$
questo perché il limite
$\lim_{x\to 0}\frac{e^{x \ln(a)}}{e^{x\ln(5)}}=1$
Abbiamo quindi il valore del limite per x che tende a zero, dobbiamo imporre che esso sia uguale a 2:
$\frac{3\ln(3)-\ln(a)}{\ln(6)-\ln(5)}= 2$
Risolviamo l'equazione ottenuta rispetto ad a:
$3\ln(3)-\ln(a)= 2(\ln(6)-\ln(5))$
da cui
$-\ln(a)= 2\ln(6)-2\ln(5)-3\ln(3)$
Cambiamo i segni:
$\ln(a)= -2\ln(6)+2\ln(5)+3\ln(3)$
Da cui
$a= e^{-2\ln(6)+2\ln(5)+3\ln(3)}= e^{\ln(1/6^2)}\cdot e^{\ln(25)}\cdot e^{\ln(3^3)}=$
$\frac{1}{36}\cdot 25\cdot 27=\frac{75}{4}$
Se hai domande sono qui :)
Risposta di Ifrit
Scusami ma sappiamo già che il limite della f di x che tende a 0 è 2 quindi non basterebbe sostituire il 2 all'interno della funzione? non capisco tutti questi passaggi
:(
Risposta di Federica90
Non devi inserire due nella funzione :(
Noi sappiamo che il limite per x che tende a zero della funzione vale 2. Cioè sappiamo che:
$\lim_{x\to 0}\frac{3^{3x}-a^x}{6^x-5^x}=2$
Sei costretta a calcolare il limite al variare di a positivo. Una volta ottenuto il valore del limite devi imporre che esso sia uguale a 2, ed è quello che abbiamo fatto. So che non è il massimo della vita :(
Risposta di Ifrit
infatti non è il massimo ma va bene....grazie mille :D
Risposta di Federica90