Determinare una costante in una funzione conoscendo un limite

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Buon pomeriggio, vorrei una conferma per calcolare il valore di una costante di una funzione, di cui conosco un particolare limite...

 

Considera la funzione f(x) = (3^(3x)-a^x)/(6^x-5^x), dove a è una costante reale positiva. Si determini la costante sapendo che il limite di x tendente a zero della f(x)=2.

 

Ho risolto l'esercizio sostituendo il 2 alla funzione e quindi ho trovato la costante a; però non so se va bene. Potete correggermi per favore?

Grazie :D

Domanda di Federica90

 
Soluzioni

  • Ciao Federica90 arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Ok, per risolvere l'esercizio dobbiamo calcolare il limite per x che tende a zero della funzione in questione:

    lim_(x → 0)(3^(3x)-a^x)/(6^x-5^x)

    Per risolvere agevolmente il limite utilizziamo la proprietà che lega le funzioni esponenziali con le funzioni logaritmiche:

    z^t = e^(tln(z))

    quindi:

    3^(3x) = e^(3x ln(3))

    a^(x) = e^(x ln(a)) qquad a > 0

    6^(x) = e^(xln(6))

    infine

    5^(x) = e^(x ln(6))

    Il limite diventa:

    lim_(x → 0)(e^(3x ln(3))-e^(xln(a)))/(e^(x ln(6))-e^(xln(5)))

    Mettiamo in evidenza 

    e^(xln(a)) al numeratore 

    e

    e^(xln(5)) al denominatore:

    lim_(x → 0)(e^(x ln(a)))/(e^(xln(5)))·(e^(3x ln(3)-xln(a))-1)/(e^(x ln(6)-xln(5))-1)

    Sommando i termini simili agli esponenti:

    lim_(x → 0)(e^(x ln(a)))/(e^(xln(5)))·(e^((3ln(3)-ln(a))x)-1)/(e^((ln(6)-ln(5))x)-1)

    A questo punto interviene il limite notevole generalizzato:

    lim_(f(x) → 0)(e^(f(x))-1)/(f(x)) = 1

    di conseguenza:

    e^((3ln(3)-ln(a))x)-1 ~ _(0) (3ln(3)-ln(a))x

    mentre 

    e^((ln(6)-ln(5))x)-1 ~ _(0)(ln(6)-ln(5))x

    Sostituiamo nel limite:

    lim_(x → 0)(e^(x ln(a)))/(e^(xln(5)))·((3ln(3)-ln(a))x)/((ln(6)-ln(5))x)

    semplifichiamo x:

    lim_(x → 0)(e^(x ln(a)))/(e^(xln(5)))·(3ln(3)-ln(a))/(ln(6)-ln(5))

    Ora

    (3ln(3)-ln(a))/(ln(6)-ln(5))

    è una costante rispetto ad x quindi possiamo toglierla fuori dal simbolo di limite:

    (3ln(3)-ln(a))/(ln(6)-ln(5))lim_(x → 0)(e^(x ln(a)))/(e^(xln(5))) = (3ln(3)-ln(a))/(ln(6)-ln(5))

    questo perché il limite

    lim_(x → 0)(e^(x ln(a)))/(e^(xln(5))) = 1

    Abbiamo quindi il valore del limite per x che tende a zero, dobbiamo imporre che esso sia uguale a 2:

    (3ln(3)-ln(a))/(ln(6)-ln(5)) = 2

    Risolviamo l'equazione ottenuta rispetto ad a:

    3ln(3)-ln(a) = 2(ln(6)-ln(5))

    da cui

    -ln(a) = 2ln(6)-2ln(5)-3ln(3)

    Cambiamo i segni:

    ln(a) = -2ln(6)+2ln(5)+3ln(3)

    Da cui

    a = e^(-2ln(6)+2ln(5)+3ln(3)) = e^(ln(1/6^2))·e^(ln(25))·e^(ln(3^3)) =

    (1)/(36)·25·27 = (75)/(4)

    Se hai domande sono qui :)

    Risposta di Ifrit

  • Scusami ma sappiamo già che il limite della f di x che tende a 0 è 2 quindi non basterebbe sostituire il 2 all'interno della funzione? non capisco tutti questi passaggi 

    Surprised :(

    Risposta di Federica90

  • Non devi inserire due nella funzione :(

    Noi sappiamo che il limite per x che tende a zero della funzione vale 2. Cioè sappiamo che:

    lim_(x → 0)(3^(3x)-a^x)/(6^x-5^x) = 2

    Sei costretta a calcolare il limite al variare di a positivo. Una volta ottenuto il valore del limite devi imporre che esso sia uguale a 2, ed è quello che abbiamo fatto. So che non è il massimo della vita :(

    Risposta di Ifrit

  • infatti non è il massimo ma va bene....grazie mille :D

    Risposta di Federica90
 
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