Esercizio limite con esponenziale a base variabile

Question

Come posso risolvere il seguente limite di un'esponenziale con base variabile? Si tratta di un limite che ho trovato in questa scheda: esercizi di riepilogo sui limiti scheda 2 advanced. lim_(x → +∞)((x^2)/(2x+1))^((1)/(x)) Grazie anticipatamente!

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Il limite lim_(x → +∞)((x^2)/(2x+1))^((1)/(x)) = (•) genera una forma indeterminata del tipo [∞^(0)] che può essere risolta mediante l'identità derivante dalla definizione di logaritmo y = e^(ln(y)) per y > 0 Sfruttando tale uguaglianza e le proprietà dei logaritmi possiamo esprimere il limite nella forma equivalente ; (•) = lim_(x → +∞)e^(ln[((x^2)/(2x+1))^((1)/(x))]) = lim_(x → +∞)e^((1)/(x)ln((x^2)/(2x+1))) = (• •) In accordo con la proprietà del logaritmo di un rapporto ln((a)/(b)) = ln(a)-ln(b) per a > 0, b > 0 possiamo scrivere il limite come segue (• •) = lim_(x → +∞)e^((ln(x^2)-ln(2x+1))/(x)) Lasciamo per il momento da parte la base e vediamo come si comporta l'esponente per x → +∞, in altri termini studiamo il limite lim_(x → +∞)(ln(x^2)-ln(2x+1))/(x) = Distribuiamo il denominatore a ciascun addendo del numeratore lim_(x → +∞)[(ln(x^2))/(x)-(ln(2x+1))/(x)] = scriviamo il limite della somma come somma di limiti e inoltre usiamo la proprietà del logaritmo di una potenza, in tal modo il limite si esprima come = lim_(x → +∞)(2ln(x))/(x)-lim_(x → +∞)(ln(2x+1))/(x) = Limitandoci agli infiniti di ordine principale possiamo asserire che il limite è 0 lim_(x → +∞)(2ln(x))/(x)-lim_(x → +∞)(ln(2x))/(x) = 0 Sottolineiamo che il risultato è 0 perché sia il primo che il secondo limite sono nulli giacché la potenza al denominatore è un infinito di ordine superiore rispetto al termine logaritmici al numeratore. Con le informazioni in nostro possesso possiamo finalmente concludere che il limite dato inizialmente è 1 lim_(x → +∞)e^((1)/(x)[2ln(x)-ln(2x)]) = e^(0) = 1 Fatto.