Soluzioni
  • Il limite

    \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2}{2x+1}\right)^{\frac{1}{x}}=(\bullet)

    genera una forma indeterminata del tipo [\infty^{0}] che può essere risolta mediante l'identità derivante dalla definizione di logaritmo

    y=e^{\ln(y)} \ \ \ \mbox{per} \ y>0

    Sfruttando tale uguaglianza e le proprietà dei logaritmi possiamo esprimere il limite nella forma equivalente

    \\ (\bullet)=\lim_{x\to+\infty}e^{\ln\left[\left(\frac{x^2}{2x+1}\right)^{\frac{1}{x}}\right]}=\lim_{x\to+\infty}e^{\frac{1}{x}\ln\left(\frac{x^2}{2x+1}\right)}=(\bullet\bullet)

    In accordo con la proprietà del logaritmo di un rapporto

    \ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b) \ \ \ \mbox{per} \ a>0,\ b>0

    possiamo scrivere il limite come segue

    (\bullet\bullet)=\lim_{x\to+\infty}e^{\frac{\ln(x^2)-\ln(2x+1)}{x}}

    Lasciamo per il momento da parte la base e vediamo come si comporta l'esponente per x\to+\infty, in altri termini studiamo il limite

    \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x^2)-\ln(2x+1)}{x}=

    Distribuiamo il denominatore a ciascun addendo del numeratore

    \lim_{x\to+\infty}\left[\frac{\ln(x^2)}{x}-\frac{\ln(2x+1)}{x}\right]=

    scriviamo il limite della somma come somma di limiti e inoltre usiamo la proprietà del logaritmo di una potenza, in tal modo il limite si esprima come

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln(x)}{x}-\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(2x+1)}{x}=

    Limitandoci agli infiniti di ordine principale possiamo asserire che il limite è 0

    \lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln(x)}{x}-\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(2x)}{x}=0

    Sottolineiamo che il risultato è 0 perché sia il primo che il secondo limite sono nulli giacché la potenza al denominatore è un infinito di ordine superiore rispetto al termine logaritmici al numeratore.

    Con le informazioni in nostro possesso possiamo finalmente concludere che il limite dato inizialmente è 1

    \lim_{x\to+\infty}e^{\frac{1}{x}[2\ln(x)-\ln(2x)]}=e^{0}=1

    Fatto.

    Risposta di Ifrit
 
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