Dubbio sui limiti notevoli in un esercizio

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Salve a tutti, ho un dubbio sull'uso dei limiti notevoli in un esercizio di calcolo di un limite.

Il link è questo:

esercizio di riepilogo sui limiti della scheda 2 advanced

Il limite è il secondo: io applico il limite notevole del seno al numeratore e il limite notevole e^f(x)-1/f(x) al denominatore. Ottengo in questo modo al numeratore radice quinta di (x) -1 mentre al denominatore ottengo radice cubica di (x) -1.

Adesso ho provato a raccogliere sia a numeratore che a denominatore il termine di massimo grado ma non si generano degli zeri. Come si procede con questo limite?

Domanda di Luigi2110

 
Soluzioni

  • Ciao Luigi, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Il limite che vogliamo calcolare è il seguente

    lim_(x → 1)(sin(([5]√(x)-1)))/(e^([3]√(x)-1)-1)

    grazie ai limiti notevoli di seno ed esponenziale possiamo equivalentemente calcolare il

    lim_(x → 1)([5]√(x)-1)/([3]√(x)-1)

    A questo punto possiamo usare le regole di scomposizione dei binomi per "razionalizzare" la frazione. Sappiamo che

    a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)

    a^5-b^5 = (a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)

    Quindi possiamo moltiplicare e dividere per 

    [3]√(x^2)+[3]√(x)+1

    [5]√(x^4)+[5]√(x^3)+[5]√(x^2)+[5]√(x)+1

    Nota che questi termini, al tendere di x → 1 tendono rispettivamente a 3 e 5, quindi il limite si riduce a

    lim_(x → 1)(x-1)/(x-1)(3)/(5) = (3)/(5)

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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