Soluzioni
  • Ciao lely91 arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Consideriamo l'insieme:

    A_z:=\{(x, y): |x|+|y|\le 1-|z|\}

    Al variare di z otterremo dei rombi con diagonali 2(1-|z|)

    Inoltre affinché la disequazione che definisce l'insieme A_z sia coerente dobbiamo pretendere che:

    1-|z|\ge 0\implies |z|\le 1\iff -1\le z\le 1

    Otteniamo quindi l'integrale:

    \int_{-1}^1 \mbox{area}(A_z) dz

    L'area di Az si trova semplicemente moltiplicando le diagonali e dividendo per 2:

    \mbox{Area}(A_z)= \frac{4 (1-|z|)^2}{2}= 2 (1-|z|)^2

    Qundi l'integrale diventa:

    \int_{-1}^1 \mbox{area}(A_z) dz= \int_{-1}^1 2(1-|z|)^2dz=\frac{4}{3}

    Mi dai il tempo di controllare la risposta gentilmente? Grazie :)

    Risposta di Ifrit
  • Ok, l'integrale dovrebbe essere corretto, se hai dubbi, o problemi di comprensione avvertimi ok? :)

    Risposta di Ifrit
  • come faccio a capire che ottengo le diagonali dei rombi in quel modo?

    Risposta di Lely91
  • L'insieme 

    R=\{(x, y)\in \mathbb{R}^2: |x|+|y|\le k\}

    rappresenta un rombo che ha per semidiagonali k,  è un insieme notevole di cui dovresti conoscere già le caratteristiche :)

    Nel nostro caso k= 1-|z| di conseguenza le diagonali del rombo al variare di z sono:

    d_1=d_2= 2(1-|z|)

    Ti faccio notare che in realtà il rombo in questione è anche quadrato perché ha le diagonali congruenti.

     

    Infine ti ricordo che in questo caso ho integrato per strati paralleli al piano XY. :)

    Risposta di Ifrit
  • sisi dell'integrazione per strati parelleli me ne ero accorta. non conoscevo l'insieme notevole. grazieeee!

    Risposta di Lely91
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