Integrale doppio su una circonferenza

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Vi propongo un integrale doppio da calcolare su una circonferenza, con funzione integranda in modulo. Devo calcolare l'integrale doppio

 

iint_(C)|x+1|dxdy

 

sul cerchio di raggio 1 e centro (-1,3).

 

Disegnando il cerchio nel piano cartesiano ho visto che y varia tra 1 e 5 e x tra -2 e 2.

 

Quindi ho impostato l'integrale su [-2,+2] di |x+1|dx dividendolo in due parti, in modo da togliere il valore assoluto. Poi quello che ho ottenuto l'ho integrato su [1.5] in dy.

 

E' lecito procedere così? Se ho sbagliato qual è un'altra strada?

Domanda di Lely91

 
Soluzioni

  • Ciao lely91 arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Purtroppo è sbagliato :(

    Tu hai integrato che se il dominio di integrazione fosse un rettangolo, ma non è così. Un modo di procedere consiste nell'utilizzare le coordinate polari traslate

    x = x_0+r cos(t) = -1+rcos(t)

    y = y_0+r sin(t) = 3+r sin(t)

    Inoltre l'equazione della circonferenza è:

    (x+1)^2+(y-3)^2 = 1

    Il dominio di integrazione è quindi:

    D = (x, y)∈ R^2 : (x+1)^2+(y-3)^2 ≤ 1

    Sostituendo ad x e a y le precedenti quantità il dominio diventa:

    D = (r, t): r^2 ≤ 1 ⇔ 0 ≤ r ≤ 1, , , t∈ [0, 2π]

    Lo Jacobiano associato alla trasformazione associata è sempre r quindi l'integrale diventa:

    ∫_0^1 ∫_(0)^(2π)r^2|cos(t)|dt dr

    Prova a risolvere l'integrale, ti dovrà venire:

    4/3.

    Fammi sapere com è andata ;)

    Risposta di Ifrit

  • perfetto!

     

    Risposta di Lely91
 
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