Sistema simmetrico a coefficienti letterali

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Buongiorno, ho problemi nel risolvere un sistema simmetrico a coefficienti letterali. Potreste aiutarmi a risolverlo?

 

{x^2+y^2-4=2b^2-2

 

{x+y=2

 

Ho scritto due parentesi graffe, ma realtà è unica perche racchiude le due equazioni, spero che sono stato chiaro in quello che ho scritto.

Domanda di Franz12

 
Soluzioni

  • Ciao Franz12, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Il sistema è il seguente

    \left\{\begin{matrix}x^2+y^2-4=2b^2-2\\ x+y=2\end{matrix}

    Per risolvere questo tipo di sistemi conviene procedere con il metodo grafico: consideriamo la prima delle due equazioni, che riscriviamo nella forma

    x^2+y^2=2+2b^2

    Questa è l'equazione della circonferenza di centro (0,0) e raggio \sqrt{2+2b^2}.

    Notiamo che 2+2b^2 è una quantità sempre positiva per qualsiasi valore di b\in\mathbb{R}, quindi la precedente equazione rappresenta una circonferenza per ogni valore di b.

    Consideriamo la seconda equazione:

    x+y-2=0

    che riscriviamo come

    y=2-x

    e che rappresenta una retta nel piano cartesiano. Tale retta interseca gli assi in corrispondenza dei punti (0,2),(2,0).

    D'altra parte la retta y=2-x dista dall'origine

    dist=\frac{|1\cdot 0+1\cdot 0-2|}{\sqrt{1+1}}=\sqrt{2}

    Quindi:

    1) il sistema ha una e una sola soluzione (di doppia molteplicità) se \sqrt{2+2b^2}=\sqrt{2};

    2) il sistema ha due soluzioni distinte se

    \sqrt{2}\leq \sqrt{2+2b^2}\leq \sqrt{4}=2

    (dove il valore 2 del raggio si ottiene considerando la circonferenza di raggio 2 che passa per i punti di intersezione della retta con gli assi);

    3) Nessuna soluzione per tutti gli altri valori di b.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Omega ala risposta che hai fatto, non hai finto la frase.

    Risposta di Franz12

  • No in realtà era finita al "Namasté!", è solo un copia-incolla che è rimasto in coda Laughing

    Lo cancello subito.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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